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【焦點讀享店】101 指考決勝祕笈之六─熟練習題,數甲應變有術
2012/06/15 14:29
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上期臺中二中數學科老師董展宏已針對指考數學乙考科爬梳剔抉一番,相信對考生的備考受益無窮!但對自然組考生來說,指考數學甲考科可是比數乙難上許多呢!同學且先別著急,董老師這就為大家施展數學甲追分魔法,提供你一次 KO 眾多競爭對手的考前衝刺祕笈!
撰文/董展宏‧整理/江凱狄、劉星妤

近年難度降低,熟練課本習題為先

       95 暫綱實行以來,共經歷 98∼100 年三次指考,最大的特色在於大考中心以「*」區分各單元的重要性。由於過去三年的指考試題以「***」單元為主要的測驗範圍,所以考生務必熟練課本上這些單元的習題。此外,這三年來,五標分數皆有提升的趨勢,例如 100 年的頂標和前標分別為八十二分與七十一分,顯示數甲高分不再那麼遙不可及。



熟練推理步驟,別怕證明題、多選題 

       不過,即使已進入最後一個月的衝刺複習階段,同學還是得勤練推理解題的功夫喔!試以多項式函數、指數函數、三角函數等類考題為例,有些題目並未提供函數圖形,但在解題的過程中卻有必要用到,這時倘若你懂得自己推演作圖,就能處變不驚地順利作答囉!

       許多考生在面對證明題時,都會心生恐懼,但你可別害怕,因為指考的證明題,只不過是將計算題的數字轉換成未知數罷了,證明解題的過程其實與計算題相似。反言之,如果作答計算題時遇到瓶頸的話,便可試著思考將題幹中的未知數用數字代入檢視,如此便能輕鬆解題。

       至於看似複雜的多選題,選項中其實常暗藏著解題線索,試題乍看或許艱澀,但只要仔細檢視各個選項提供的線索逐步推理,你就能從中發現解題的蛛絲馬跡,進而找到答案。

留意跨單元試題,不輕忽數學定義 

       由於指考比學測更常出現跨單元的試題,即便如此,同學僅需結合不同單元的數學概念,就能找到解題的方法。換言之,跨單元的試題旨在結合不同概念的題目,並非為了設計出高難度的試題來刁難考生。 

       因此,同學務必了解並熟記各單元的定義、公式、性質、定理等,並以課本中的公式為主,更別輕忽了理解「定義」的重要性,如對數、廣義角的三角函數、轉移矩陣⋯⋯等等喔!當作好這些紮實的備考方法,將有效提升應試實力。

       雖然標示「**」的單元不是指考的命題重點,但千萬不能大意,因為在出自「***」單元的試題解答過程中,可能會應用到「**」單元的概念,例如計算微積分,即可能用到多項式的觀念。

       所以,考生在準備指考數甲時,無論使用哪個版本的課本,均需熟練課本內的範例、習題。在指考試題中,程序性試題占多數,所以力求熟練各單元概念,便能輕鬆答題。另外,常見的試題設計是將經典題型中的已知數改為未知數命題,例如在多項式、聯立方程式的係數、條件機率的試題中,將部分機率設為未知數⋯⋯等,總之,若能在最後衝刺的一個月內,熟練課本的範例、習題,準備指考將事半功倍!

各冊必 K 重點單元及內容

       從 98 年指考開始,標示「***」的單元為必讀的重點。然而對考生而言,範圍仍如大海撈針,難以捉摸。以下挑選出特別重要的概念,提供各位作為考前衝刺的參考:

       在古文的部分,同學應注意連接詞的語氣、文句中是否有排比或頂真等修辭法,另外,無論古典或現代,若有抒發感懷的字句,大都在後半部,同學若依這些規則來判斷文句該怎麼組合,就容易一目了然。

選修 II:掌握極限概念,熟悉微分、積分

1極限的運算

       此類試題,常會配合絕對值或高斯符號來命題,考生若尚未釐清部分概念,最好能翻閱課本或請教師長、同學,務必要把觀念搞清楚。

2微分

       考生務須了解微分的定義,例如微分符號、極限的轉換,還有如何利用微分求切線,並清楚一階導數及二階導數的用途、圖形特徵,以及利用微分求極值的應用問題。應用問題大都會要求考生假設未知數,將求極值的量表為函數,再利用微分求極值,由於應用到其他單元概念的可能性很高,所以此一部分最為困難。

3數列的極限

       求極限本身並不難,因此常以其他單元為題幹,例如數列與級數單元,題目很可能要求考生先求出 an,再求極限值。

4積分

       考生需熟悉多項式函數的圖形(最好能具備描繪略圖的能力),並諳習利用積分求區域面積。

選修 I:勤練考古題,熟記條件機率、因式分解

 1條件機率與貝氏定理

       需熟記條件機率的定義,才能靈活運用,掌握此類題型。至於貝氏定理的指考試題,經常是從課本上 的習題衍生出來的,像是課本題幹原是提供所有的條件,請學生算出解答,而指考則倒過來某一項條件改 設成未知數,再請同學解出。例如下面的範例,此題原是求解「來自甲工廠的不良品機率是多少?」而指 考試題則可能改成:直接在題幹上提供來自甲工廠的不良品機率,並將甲、乙、丙三間工廠其中一間的個 別產量所占總產量的比例設為未知數 x,請同學求 x。因此,若同學平日熟悉課本試題的計算思維方式, 遇到此類題型時,就能一步步解題。

2二項分配

       雖然考生較易掌握二項分配的觀念,但不能因此輕忽此類試題的計算溫習,最好能透過頻繁練習考古題,加強訓練自己分析推理的能力。

3矩陣

       常見的命題重點有:矩陣乘法、反方陣,以及利用矩陣的列運算來解聯立方程組,此外,轉移矩陣也可能命題,務必多加留意。

4不等式

       若要順利解二次不等式、高次不等式的題目,考生必須熟練因式分解,才能順利作答,不過高次不等式可能還會用到整係數一次因式檢驗法,才能將多項式成功分解。此外,考生亦需練習算幾不等式、柯西不等式等各類基本題型,且考題經常會配合幾何圖形出現。

5線性規劃

       考生必須熟練頂點法、平移法,並可透過勤算考古題來掌握此類試題的出題模式。

第二冊:三角函數占極大分量

1對數

       熟悉對數的定義及基本運算、對數函數的圖形、查表、內插法。至於某些需要繁雜計算技巧的題型,若來不及準備,可先略過。

2三角函數

       雖然此單元在第二冊中所占的分量很重,但考生仍可能摸不著頭緒,不知如何準備起。其實只要熟悉銳角三角函數及廣義角三角函數的定義、各函數正負號的象限,以及加強練習面積公式、正弦定理、餘弦定理此三個公式,並能解決三角測量的問題即可。

       另外,正弦函數、餘弦函數、正切函數也是命題重點。複數的極式可能是多數同學的死穴,準備時務必了解極式的運算,以及極式相乘時,其角度相加的特性如何反應在坐標平面上。至於和角公式、倍角與半角公式、正餘弦疊合,準備時只需偏重簡單公式的運用就行了。

第三冊:可能出現球面單元的「告別試題」

1向量

       向量的坐標表示法,因其運算過程較圖形表示法簡單,反而容易造成考生忽略向量運算在圖形上(平行四邊形法、三角形法)的表現,但指考試題大多是以圖形方式呈現,考生應加強練習圖形表示法,再進一步熟悉向量的線性組合意義。另外,內積非常重要!無論是從圖上判斷、比較內積大小,或是利用內積的定義、公式求得夾角,都是常見的考題。

2空間概念

       關於此單元的概念、題型非常多!考生準備時宜以基礎概念為本,像是正立方體、正四面體等經常出現在題幹中,並配合求夾角、向量等概念解題。至於其他概念,例如求空間中的平面方程式、直線方程式、兩平面的夾角、點到直線距離、平行線間的距離、歪斜線相關問題,考生務必精熟其解題步驟,最好能練到一看完題目就馬上想到解題步驟。

3圓與球面

       由於此單元的觀念很少,且題型固定,較容易掌握。所使用的解題工具中,圓的部分有「直線與平面向量」;球面部分有「空間中的平面與直線」、「參數式」,熟練向量、空間概念,再配合分析推理,奪分並不難。而 99 課綱將剔除球面單元,因此今年很可能出現球面的「告別作」,同學不妨多加練習。

第四冊:古典機率與期望值

       此單元題型高深莫測,但可能僅需排列組合的功力(簡單列式即可),也可能得用到列舉法,加上大部分同學對於排列組合千變萬化的考法心生畏懼,容易知難而退。但近年不曾出現難題,僅需透過簡單的分析情況,再加以討論,即可破題。由於排列組合大多以應用題型態出現,為了理解題意,考生複習時應多自行舉例,深入了解如何將觀念代入應用。建議考生在準備時,除了指考考古題外,也可多練習學測考古題。

各冊必 K 重點單元及內容

       高三選修 I 與 II 是數學甲的指考命題重點,過去三年的總配分就高達五十分以上!如果你在高三上學期時,因為準備學測而耽誤了選修 I 的學習進度,則在此衝刺階段,與其複習基礎數學,不如優先複習選修 I。此刻正是考前最後衝刺之際,若同學仍正在學習選修 II 的課程,應亦步亦趨的遵從學校進度,熟練習題。即使部分同學可能已透過物理科,學過微分、積分,但倘若你沒有融會貫通其背後的概念,遇到數甲的微分、積分試題時,仍可能無法順利過關。

       總之,指考數甲的試題雖比數乙難且範圍廣,但是某些複習的「眉角」(如跨章考題、證明題解法),在複習時均須特別留意。相信,隨著近年來指考數甲試題逐漸偏易的趨勢,同學只要熟練課內習題以及各單元的公式、定義與概念等等,指考數甲高分絕對可期!

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