2022-12-04 由 中科院物理所 發表于科學

質量引起時空彎曲

也就是說，真實的引力是時空坐標系所描述的時空的一種內稟屬性。這種內稟屬性是不會因為人為的坐標系的選取而被全局消除的。再聯繫到文章開頭時說的「真實的引力效應會對物體產生不可消除的切向擠壓徑向拉伸的可觀測的形變效應，這種效應叫做潮汐力」。所以潮汐力其實就是我們這裡講的時空的內稟屬性對應的物理可觀測量，是無法通過坐標變換移除的。說到這裡，你應該會聯想到19世紀黎曼等數學家發展出的黎曼幾何里一個完全平行的數學類比，即曲面的黎曼曲率這種內稟屬性是沒法通過任何坐標變換移除的！ 所以如果我們作如下的解釋，即把物理里的時空解釋成數學裡的曲面（即一個抽象的彎曲空間/流形），把物理里觀察者測得的具體的時空坐標/參考系和它們之間的變換解釋成數學裡抽象的坐標系和坐標系間的非線性變換，把物理里的潮汐力（真實的引力效應）解釋成數學裡的黎曼曲率，那麼引力這樣一個純粹的物理問題就可以被等價地轉化成黎曼幾何這樣一個純粹的數學問題！這樣我們就可以套用19世紀數學家們已經發展好的數學工具去解決物理上的引力問題。至此，我們已經從等效原理這一基本公理出發闡述了廣義相對論核心的物理思想。

數學家黎曼

歷史上，在得到等效原理並理清這裡面重要的物理思想以後，愛因斯坦最先將他的等效原理應用到引力場對光線傳播（或更一般的電磁現象）的影響。「把等效原理應用於像光這樣的電磁現象（而不是力學現象）」是當時除了愛因斯坦沒人想過的在思想上革命性的飛躍！下面我們就定性半定量以一種不嚴格的手法在牛頓力學的框架下應用等效原理討論一下光線掠過太陽表面時的偏轉並給出該偏轉角度一個大致的估計（雖然定量上是錯的，但已經能給出足夠深刻的物理洞察）。儘管我們現在還沒給出嚴格的廣義相對論的場方程，但是僅僅依據等效原理這一強有力的公理，我們就已經能夠推斷出：太陽表面對光的引力作用可以被等價成光處在一個與太陽表面所產生的引力加速度大小相等方向相反的加速系裡，而在這個加速系裡光走的路徑會發生彎曲！（這裡可以把加速系想像成是一個加速電梯）。所以我們這裡僅僅依據這一條看似平凡的等效原理就已經定性地預言了光在引力場下的傳播軌跡會發生彎曲這一非平凡的結論！

假定太陽引力場的有效作用範圍就在它的一個直徑範圍內，則這個假想的加速電梯的寬度將剛好橫跨一個太陽直徑2R的範圍。根據上述等效原理給出的推斷可以得出：太陽表面產生的引力效應可以被等價替換一個電梯t=0在時刻從靜止在太陽表面的位置開始沿徑向垂直遠離太陽表面的方向做勻加速直線運動，加速度的大小g等於太陽表面的引力加速度的大小，方向與其相反，即： 假設一束光在t=0時刻從電梯的最左端水平向右射出。光的水平運動可以用勻速直線運動（水平速度用光速c做個估計）做個大致的估算，所以光從電梯最左端到達最右端所需要的時間大致是： 由於光在豎直方向的初始速度是0，加速度近似是g豎直向下指向太陽中心，所以我們可以大致估算出Δt時間後光抵達電梯最右端時速度的豎直向下的分量是： 所以我們得出光線抵達電梯最右端時的偏轉角估計值（等價於光線掠過太陽表面時的偏轉角）是： 因為上式分子中的萬有引力常數G很小，而分母中的太陽半徑R和光速的平方c很大，所以光線掠過太陽表面時的偏轉角非常非常小難以觀測！ 所以這裡我們已經通過一些不嚴格的定性半定量的計算在牛頓力學的框架下從等效原理出發給出了光線偏轉角的估計值和大致的數量級。這個結果給出了很多關鍵的物理圖像和信息！而且更令人驚訝的是，這個如此容易計算的估計值竟然和用複雜的廣義相對論場方程嚴格計算出來的精確值之間僅相差一個係數2！