我知道沈昭亮教授喜歡聽江蕙的歌 所以他的"連分數"叫做"秋風夜雨話蚯蚓" 看了2018的日記 知道8/4是立秋 今年是8/7 

期盼著秋風 期盼著多下幾場雨

§01

我從小學到高中 一直有學到連分數 用輾轉相除法可以求連分數 例如

,所以,用[2,3,1,2]表示

真正認識到連分數是在大三上高等數論時(代數數論) 知道「連分數逼近法」是一個非常有效的逼近法。

§02

日蝕的形成原因是因為太陽、月球、地球剛好在同一條直線上，月球恰巧將太陽遮住，所以在地球上的某些區域無法看到太陽。

如果單從月相變化來看，每當月亮位於「朔」的位置，似乎就應該產生日蝕，但實際上卻並不是如此。

原因就是地球繞太陽公轉的平面（黃道面）與月球繞地球公轉的平面（白道面）有一個大約五度的夾角，必須日、月兩者的位置相距在一度內，才能產生日蝕現象；所以必須等到地球繞太陽公軌道的位置，剛好位於白道面與黃道面的兩個交點（升交點、降交點）才有可能發生日蝕的現象，亦即必須符合這兩個條件才有可能發生日蝕的現象。

如果月球位於朔的位置，且恰巧位於白道與黃道的兩個交點上，就有可能發生日蝕。

月相盈虧的平均週期約為29.530588天(稱為朔望月)，而月球穿過同一黃道面的交點週期為27.212220天(稱為交點月)。

§03 連分數

交點週期=27.212220日(交點月),朔望週期=29.530588日(朔望日)

設S=n個朔望月=m個交點月,則，將它 用連分數表示=

這個連分數的一,二,三,...次近似值(漸進分數)為， 取到第五次近似值,即，此時可取 m=242交點月=6585.3572日，n=223朔望月=6585.3211日。

它們相差0.0361日,因此6585.3211日近似地看成朔望月與交點月的公倍數。

朔望月與交點月的最小公倍數大約為6585.32天，這個週期便是沙羅週期。

6585.32天，大約是223個朔望月，因此也常用223個朔望月來代表沙羅週期。

沙羅週期(Saros cycle)是巴比倫人發現的,經過一個沙羅週期,太陽,地球,月球回到相似的幾何位置,於是發生幾乎相同的蝕。

§04 日蝕預測

西元前6~7世紀,伊朗高原的米底亞王國(Medes,今日伊朗、阿富汗北部、土耳其東部地區 )向西征服了亞述帝國,占領它的首都尼尼微,然後繼續西進小亞細亞,遇到了米底亞王國(Lydians,今日土耳其西部 )，兩國在哈利斯(Halys今柯茲勒河)發生劇烈戰爭，連續五年未見勝負，橫屍遍野。

泰勒斯(Thales 約620BC~546BC)是希臘的數學家,哲學家,天文學家,比畢達哥拉斯年長一些,他預知5月28日下午3點(585年BC)會有日全食，於是他向交戰兩國宣布：上天對這場戰爭十分厭惡，將用日蝕向你們示警，若你們再不休戰，將有大難臨頭。

交戰雙方都不理會泰勒斯的警告，直到交戰時真的發生了日蝕，白晝變成黑夜,他們非常恐懼，於是歃血為盟,結束了戰爭。

這件事紀錄於古希臘歷史學家希羅多德(Herodotus 484BC~425BC)的著作希波戰爭史第一卷。

現代天文學的研究證明，泰勒斯時代發生在小亞細亞的唯一的一次日蝕是在公元前585年5月28日。

泰勒斯到過巴比倫,他能預測日蝕,顯然他遊學巴比倫期間學得了巴比倫的天文學。

§05 後記

連分數一般的演算法是由P.A.Cataldi(1548~1626)在1613年提出,第一次有系統的研究是尤拉(L.P.Euler 1703~1783)於1737年提出。

至於國內,沈昭亮先生是我所知道的教授中,連分數的專家,參考資料中(5)(6)是他發表的連分式。

我在清大修碩士班學分時 認識到沈先生的風采 

二十多年前,我當數學科召集人,請沈昭亮教授到學校演講「連分數」,沈教授千里迢迢從新竹到台中,但是 (1)學校為了"不耽誤"學生課業,就只找2,30位學生來聽 (2)學生沒有準備,因此與教授互動不足。

當時對沈教授的歉意一直在心上,至今猶不能忘懷。

沈教授曾經提到攀藤科植物的螺距...,說 這裡面有學問 最近我重讀微分幾何 於是想向沈先生請教 沒有到沈先生已於2013年過世 不勝唏噓。

在書櫃中 偶然找到一頁(兩面) 連分數 是沈昭亮上課的筆記

時隔近20多年還留著 意外(現在 把它夾在 數學史--古典篇 一書中)

§ 參考資料

1. 沙羅週期
2. 認識連分數 林聰源  (包含黃金比例, pi的連分數表示法)
3. 黃金比例的連分數 
4. 秋風夜雨 話蚯蚓 談連分數 沈昭亮 數學傳播季刊27卷第2期
5. 連分式與反面問題 沈昭亮 數學傳播季刊27卷第3期
6. 數學史---古典篇 p.82 凡異出版社
7. 唐宋曆法中的交食週期與連分數算法 曲安京 數學傳播季刊19卷第4期
8. 藤本植物彎曲生長構造產生的機制

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