數學之春首刊2001年5月

       革除千百年來數學久積之弊病

       樹立一以貫之簡明傳習之典範

  烏煙瘴氣何時了,怪事知多少.教材又颳換型風,數學不堪回首垃圾中.

  審視高中數學實驗教材第四冊,民國六十三年十二月修版序中所云:

「…國內從『分科傳統數學』『形式數學』(即所謂)『新數學』)到今天

『綜合數學』的實施已歷三個階段,編輯小組很欣幸看到國內數學界的

共同努力所帶來的成效正在發芽茁壯.」不禁令人啞然失笑.  

  變質數學亂紛紛,諱莫如深屢換型.歷歷階段成灰土,累累前科了無痕.

  名不副實言建構,莘莘學子欲斷魂.發芽茁壯無覓處,攀得學界作護身.

類比於其他學科,固未聞從「分科傳統物理」,「形式物理」

(即所謂)「新物理」,「綜合物理」…,到今天「建構物理」

的成效正在發芽茁壯者也.

  把一番孤芳自賞,妝點成百花齊放.鮮恥者自吹自擂,寡廉者如蟻附羶. 

  余,鄧天錫,民國50年畢業於台大數學系.潛研數學迄今,歷四十餘載.

唯願數學之傳習,平易近人,一以貫之.曾於民國57年在大華晚報連續

發表「評高中新數學教材」多篇.然不旋踵即遭封殺.

在萬般艱苦之情況下,益發激起吾人之研習狂熱.

幸於1985一年內,將早期完成之論文以英文稿連續發表在

國際知名數學期刊.之後,並接獲美國Auburn大學1990年3月20-23日

召開之線性代數會議邀請函.

目前正慎密整理歷年來之研習心得,彙編成書.

第一卷「代數體系的理論架構與解題觀止」共四集,歷五載始成初稿.

謹以第一集先行問世.倘天祐吾書,二、三兩卷,預計尚需時十年.

屆時心願既了,何計修短人生,重拾少年詠唱,悠然含笑歸真.

 磨礪再磨礪,十年復十年.悠悠菩提心,耿耿池中蓮.

 真理顛不破,寒梅吐芳冽.一經試霜刃,忠義貫日月.

 國族賴以尊,士人知有格.幼苗賴以立,渡彼數學厄.

 夢魘自茲去,雞鳴天下白.

       驚爆訛人戲碼★敲響革命洪鐘

  很久以前,我從孩子國小三年級的數學測驗卷中,看到這樣一個怪誕

不經的試題: 0+0+0 =   (1) 0,  (2) 3´0,  (3) 0´3,  (4) 以上皆非.

  由於乘數被乘數被渲染得天花亂墜,以訛傳訛.藉以把加法的

「係數概念」以及「乘法交換律」等重大觀念破壞無遺.

  先是將 a+a+a=3a 改成 a+a+a=a´3.

再由「a 是被乘數, 3是乘數」之歪理,來否定

a+a+a=3a 正確的係數概念.在似是而非的導引下,視

0+0+0=0´3 為「0是被乘數,3是乘數.」 是謂 3個 0 相加.

所以有別於 3´0,「3是被乘數, 0是乘數.」 然則 0 個3相加,

卻難由數式表達. 它如: 3´a 誠不知該如何把 a 個3 相加,

而 a´3 又該如何相乘. 霧非霧來花非花,

一番強詞奪理,那裡還有什麼 0 的概念.

影響所及, 則 a+a+a=3a 之係數概念其必蕩然無存矣.

況且在乘數被乘數之糾纏下,何得而言乘法交換律.

譬如結婚, 絕對沒有結婚與被結婚的道理. 它如加數被加數,

減數被減數, 除數被除數等無聊課題,則更是費盡心思, 絞盡腦汁,

編排出一套套九年國教愈來愈空洞之數學生活化來.

   透視比例的劣質虛構★剖析荒謬之聯考試題

  本來 8/6=4/3 一目了然.然則為了標榜那數學生活化,故把 8/6

改成 8÷6.並讀作8 除以6, 8是被除數,6是除數.而得1為商數, 2為餘數.

再以古靈精怪的 8÷6=1…餘2 來表達.目的是要以文字化來打破

8/6=1+2/6 的除法概念.再去掉1+2/6 中之「+」,進而捏造出

那一無是處的帶分數12/6, 讀作:「1又6分之2.」如此一來,

不僅破壞了約分觀念.更把二整數間之表示法連根拔起.

尤其甚者,則是把 8÷6 中之「÷」刪去那中間的一橫, 使之成為 8︰6,

是謂 8 與6 之比, 且以 8/6 為其比值.並於此莫須有的比與比值之間,

大作起無聊文章.像是: 8/6=4/3 搖身一變竟成為 8︰6 = 4︰3.

同樣b/a=d/c 經轉換而成為 b︰a = d︰c, 是謂比例式

.因有 a, d 是內項, b, c 是外項之稱.而與真正的項數觀念背道而馳.

且 bc = ad 更一躍而成為眾所周知的比例定理, 讀起來朗朗上口

的是:「兩外項之積等於兩內項之積.」隨之便冒出那盤根錯節的

「反比、更比、合比、分比、合分比、連比…等定理」,

以及那糾纏不清的變數法.如:「正變、反變、正反變、合變…等」

不一而足.看似變化萬千,奧秘無窮.實是故弄玄虛,空無一物.

謬誤比比皆是, 劣跡斑斑可考.

僅就最負盛名之聯考試題, 列舉兩則無所遁形之謬誤如下:

其一: 「設 x/(mz-ny)=y/(nx-lz)=z/(ly-mx),

試證 x²+y²+z²=0.」

剖析: x/(mz-ny)=y/(nx-lz)=z/(ly-mx)= k, 得

  x= k(mz-ny), y= k(nx-lz), z= k(ly-mx),®

  x²= k(mxz-nxy), y²= k(nxy-lyz), z²= k(lyz-mxz). ®

  x²+ y²+ z²=0. ® x=y=z=0.

致令原假設 x/(mz-ny)=0/0 毫無意義.

  上述謬誤命題, 歷久不衰.如某參考書第三冊p. 4-33之所註明

「漂亮考題67某專聯」.足見袞袞諸公對此等考古名題之情有獨鍾.

其二: 「三角形三邊之長 a:b: c= 1:3: 5, 試求三高之比.」

剖析: 根據三角形不等式 : 三角形兩邊之和必大於第三邊.

故知三邊之長 a:b: c= 1:3: 5 之三角形,根本不存在.又何來三高之比.

該命題為民國67年台北市公立高中聯考數學試題選擇第9題.筆者雖

投書至各大報社指陳該題之謬誤,然各界皆懍於閥門威權,噤若寒蟬.

現仍保留已拆封及未拆封之回函及退件,可資證明焉.

         公式愈背愈死★頭腦越用越活

  研習數學,著重在觀念、原則、方法、習慣.且 以 (11)²=121 為例:

由於 (11)²=121 實際上是 [(10)+1]² = (10)² + 2(10)+1 的縮寫.

且在分離係數式的演算過程中,並沒有十進位的情形發生.

因此把 (10) 換成 x, 即得 (x+1)²= x²+2x+1 .

更因為分離係數式為左右對稱,故知 (a+b)² = a²+2ab+ b².

這就是所謂的平方公式.再將 b 換成-b, 而得 (a-b)²= a²-2ab+ b².

同理,當沒有十進位的情形發生時: 可由 (11)³=1331,

得 (a+b)³= a³+3a²b+3a b²+ b³.便是所謂的立方公式.

再將 b 換成-b, 而得 (a-b)³= a²-3a²b+3a b²- b³.

上述這類公式, 由於中學數學教材之大書特書, 故學生們必須死背活背.

再看 (11)⁴=14641 之演算過程中,沒有十進位的情形發生.

故一望而知 (a+b)⁴= a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab + b⁴ .

                         ( a -b )⁴= a⁴- 4a³b+ 6a²b²- 4ab  + b⁴ .

倘視此等基本演算之結果,皆為公式,而一一死背.則公式何其多也！

下列快速演算,取之不盡.不僅一目了然, 更可舉一反三.

  由 (12)²=144,可知 (21)²=441, (102)²=10404,

  (1002)²= 1004004,  (20001)²= 400040001,KK,等,

  以及 (a+2b)²= a²+ 4ab+ 4b² ; (2a+b)²= 4a²+ 4ab+ b² .

  同理: 由 (13)²=169, 可知 (31)²=961, (10003)²=100060009K,等,

  以及 (a+3b)²= a²+ 6ab+9b² ; (3a+b) = 9 a²+ 6ab+b² .

            彈指可破,何須大刀闊斧.

  如民國五十三年大學聯考甲組數學試題. 

且註明限用數學歸納法證明:

(1+3/1)(1+5/4)…[1+(2n+1)/n²]= (n+1)².

然則此類命題,彈指可破,何須大刀闊斧.但依下列約分化簡.即得:

=(2²/1²)(3²/2²)…[1+(n+1)²/n²]= (n+1)².