由三角不等式求三角形面積的快速方法
作者: 遠東科技大學 鄧岱松
由三角不等式導出三角形面積的快速方法
設 a=(BC),b=(AC),c=(AB)爲三角形△ABC三邊的長度,
則由三角不等式:½b-c½<a<b+c,(b-c)2<a2<(b+c)2.得
[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]=16D2,D爲三角形△ABC的面積.
證:
令 A,B,C分別爲 a=(BC),b=(AC),c=(AB)所對應三角形
△ABC之內角,D爲三角形△ABC 的面積.由三角公式:
2D=bcsinA,得4D2=b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A),
及由 2bccosA=b2+c2-a2,得
16D2=4b2c2-4b2c2cos2A=4b2c2-(2bccosA)2
=4b2c2-(b2+c2-a2)2=(2bc)2-(b2+c2-a2)2
=(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2)
=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]>0.
但如果三角不等式½b-c½<a<b+c不成立,
則a,b,c不可能為三角形的三邊.因此由
16D2=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]求D是最簡單不過的事,
又何須 令 a+b+c=2s.®b+c-a=2(s-a),
c+a-b=2(s-b),a+b-c=2(s-c).而得
16D2=(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)
=16s(s-c)(s-b)(s-a),
D2=s(s-c)(s-b)(s-a),
D=Ös(s-a)(s-b)(s-c),便是那鼎鼎大名的海倫公式了.
茲舉例以比較三角不等式與海倫公式之解題效益如下:
例1.設a=3,b=5,c=7爲三角形三邊的長度,求此三角形的面積D.
解
由三角不等式½b-c½<a<b+c,得2<3<12.®
16D2=(12+3)(12-3)(3+2)(3-2)=15(9)(5)(1),
4D=15Ö3,D= 15Ö3/4.
由海倫公式, 令 s=(a+b+c)/2=15/2, s-a= 9/2,
s-b=5/2, s-c=1/2, D =Ös(s-a)(s-b)(s-c),
D=Ö(15/2)(9/2)(5/2)(1/2)=15Ö3/4.稍繁
例2.設 a=4Ö3+5,b=4Ö3-5,c=5Ö6 爲三角形三邊的長度,
求此三角形的面積D.
解
由三角不等式(a-b)2<c2<(a+b)2,得100<150<192.®
16D2=(192-150)(150-100)=42(50),4D2=21(25),
2D=5Ö21,D= 5Ö21/2.
由海倫公式,令s=(a+b+c)/2=(8Ö3+5Ö6)/2.®
s-a=(8Ö3+5Ö6)/2-(4Ö3+5)=(5Ö6-10)/2,
s-b=(8Ö3+5Ö6)/2-(4Ö3-5)=(5Ö6+10)/2,
s-c=(8Ö3+5Ö6)/2-5Ö6=(8Ö3-5Ö6)/2,
D=Ös(s-a)(s-b)(s-c)
=Ö[(8Ö3+5Ö6)/2][(5Ö6-10)/2][(5Ö6+10)/2][(8Ö3-5Ö6)/2]
=Ö(8Ö3+5Ö6)(8Ö3-5Ö6)(5Ö6-10)(5Ö6+10)/16]
=Ö(192-150)(150-100)/4=Ö(42)(50)/4=5Ö(21)/2
顯然是愈來愈繁了.
名題鑑賞
設a,b,c爲任何實數,且bc¹0.試證
Ö(a2+b2-ab),Ö(b2+c2),Ö(c2+a2+ac)可爲三角形之三邊,
並求此三角形的面積D.
「證與解」
由 a2+b2-ab =(a-b/2)2+3b2/4,
a2+ac+c2=(a+ c/2)2+3c2/4,可知對於任何實數a,b,c,
bc¹0.恒有a2-ab+b2>0,b2+c2>0,a2+ac+c2>0.
令 p=Ö(a2+b2-ab),q=Ö(b2+c2),r=Ö(c2+a2+ac).®
p>0,q>0,r>0,p2=a2+b2-ab>0,q2=b2+c2>0,
r2=c2+a2+ac>0.®
(q+r)2-p2=2qr+q2+r2-p2=2qr+(b+c)a+2c2,
p2-(q-r)2=2qr-(q2+r2-p2)=2qr-[(b+c)a+2c2].
[(q+r)2-p2][p2-(q-r)2]=4q2r2-[(b+c)a+2c2]2
=4(b2+c2)(a2+ca+c2)-[(b+c)a+2c2]2
=(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2 爲 a 的二次式.
(3b2-2bc+3c2)>0.由判別式
d=[2bc(b-c)]2-4b2c2(3b2-2bc+3c2)=-8b2c2(b2+c2)<0,
可知
[(q+r)2-p2][p2-(q-r)2]
=(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2>0,
且q>0,r>0.®(q-r)2<(q+r)2,(q-r)2<p2<(q+r)2.
即得證:對於任何實數a,b,c,且當bc¹0 時,
p=Ö(a2+b2-ab),q=Ö(b2+c2),r=Ö(c2+a2+ac)
可爲三角形的三邊.並由三角不等式 可知
16D2=[(q+r)2-p2][p2-(q-r)2]
=(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2>0.
4D=Ö[(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2],
D=Ö[(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2]/4
便是此三角形的面積.
更由此得知對於a,b,c爲任何實數,且當bc¹0 時,
下列不等式恒成立:
1. ïÖ(a2+b2-ab)-Ö(b2+c2)ï<Ö(c2+a2+ac).
2. ïÖ(a2+b2-ab)-Ö(c2+a2+ac)ï<Ö(b2+c2).
3. ïÖ(b2+c2)-Ö(c2+a2+ac)ï<Ö(a2+b2-ab).
4. Ö(a2+b2-ab)+Ö(b2+c2)>Ö(c2+a2+ac).
5. Ö(a2+b2-ab)+Ö(c2+a2+ac)>Ö(b2+c2).
6. Ö(b2+c2)+Ö(c2+a2+ac)>Ö(a2+b2-ab).
由海倫公式.
令 Ö(a2+b2-ab)+Ö(b2+c2)+Ö(c2+a2+ac)=2s.®
D2=s(s-Ö(c2+a2+ac)(s-Ö(b2+c2)(s-Ö(a2+b2-ab).
實在是不勝其煩.因此求三角形的面積D.只有回到
p=Ö(a2+b2-ab), q=Ö(b2+c2), r=Ö(c2+a2+ac).
(p-q)2<r2<(p+q)2.®
16D2=[(q+r)2-p2][p2-(q-r)2]
=(3b2-2bc+3c2)a2+4bc(b-c)a+4b2c2>0.
足見好的方法應當是順其自然一以貫之,不應有繁瑣的分數及根數演算.
隨附多年前一則高中聯考數學試題.
「三角形三邊之長a:b:c=1:3:5,試求三高之比.」
剖析:
根據三角形不等式:取 a=1,b=3,c=5.
由三角不等式½b-c½<a<b+c,得2<1<8而與2>1 互相矛盾.
故知 a:b:c=1:3:5之三角形,根本不存在, 又何來三高之比.
看完了,看懂了.一經比對,立見真章.試將此稿投寄到數學傳播.
且看結局如何.
《數學傳播季刊》審稿意見表
稿件編號:4605
送審日期:2019年3月26日. 收稿日期:2019年3月20日.
稿題: 由三角不等式導出三角形面積的快速方法
審核結果:退稿
審核意見如下:
所謂的海龍公式(Heron¢s formula)又譯希羅公式,
一個証明的方式正如作者所提出的辦法,請參見網路“海龍公式”
標題: MM4605-數學傳播季刊-稿件
「由三角不等式導出三角形面積的快速方法」
謝謝您的支持與愛護.
鄧先生 大鑒:
稿件號碼:4605
稿件標題: 由三角不等式導出三角形面積的快速方法
隨信附上貴大作的審稿意件,請查收.
謹以此信通知,再次謝謝您對本刊的支持與愛護.
敬祝 文安.
中研院數學所 數學傳播編輯部
主編 梁惠禎
助理 黃馨霈 王靜雯 敬上
TEL:+886-2-23685999#382
FAX:+886-2-23688121
茲將審核意見剖析如下
「所謂的海龍公式 (Heron¢s formula) 又譯希羅公式,」
因此可以不懂數學,但不可以不推崇海龍.
「一個証明的方式正如作者所提出的辦法,請參見網路“海龍公式”,」
當參見網路“海龍公式”時,但見歪歪斜斜密密麻麻的海龍公式
好幾百項,每項點閱人次約七八萬,雖然派頭十足,但卻找不到任何
一個証明的方式,因此切莫攀附作者所提出的辦法.
十多年前,我隨父親到祖居湖南掃墓祭祖,受邀到四處講演數學,
或三、五天,或個把月,最近的一次長達一年半,並在當地數學
老師的支持下成立了鄧天錫數學快易通推廣中心.電視及報章等
亦相繼報導.更譽之為快乐数学.因此求三角形面積的快速方法
迅速傳遍了神州大地.而這只是快樂數學的其中之一.因此與
海龍公式相繼罷黜的外國公式不知凡幾.
直到2008年大選前我隨父親回到台灣.
2015年 世界大学城的網路新增了一个视频邓天锡教授快乐数学.
但在發祥地的台灣反倒未能廣為流傳,身為創始人的兒子,
業紹箕裘,責無旁貸.為此本人嚐試把
「由三角不等式導出三角形面積的快速方法」投寄本土期刊
以與 Heron 公式一決高下,沒想到鼎鼎大名的 Heron 公式,
竟然如此不堪一擊,這教那些徒子徒孫情何以堪.因此,一怒之下,
退稿.學術戒嚴,愚不可及.世界潮流,浩浩蕩蕩.像這樣的退稿,
只足以暴露期刊的無才無格.儘管求三角形面積的快速方法
非止一樁,但最不中用的便是那海龍公式.
