用鄧天錫顺其自然的正交化向量终结  

                      Gram-Schmidt长久以来正交化的繁琐步骤

                                  作者: 遠東科技大學 鄧岱松

克紹箕裘,子承父業..鄧天錫基底向量正交化定理:

    設{a₁,…,a_n}為布於複數域內積向量空間中n個線性無關之向量,

簡稱基底向量.

令a_ij=a_i‧a_j表a_i,a_j之內積,a_ji=a_j‧a_i=a¢_ij表a_ij之共軛複數.

a_ii=a_i‧a_i>0,令b₁=a₁, b₂表2階向量行列式,

[a₁₁, a₁]表b₂之第1列, [a₂₁, a₂]表b₂之第2列,…,

b_n表n階向量行列式,[a₁₁,a₁₂,…,a_1(n-1),a₁]表b_n之第1列,…,

[a_n1,a_n2,…,a_n(n-1),a_n]表b_n之第n列.由行列式之運算規則

b₁‧b₁=a₁₁>0,b₂‧b₁=0,b₂‧b₂>0,…,  

b_n‧b₁=…=b_n‧b_n-1=0, b_n‧b_n>0.

而得{b₁, b₂}為基底向量{a₁,a₂}之正交基底,…,

{b₁, b₂,…, b_n}為基底向量{a₁,a₂,…,a_n}之正交基底.

由於鄧天錫之基底向量正交化定理本乎自然,一以貫之,

其證明渾然天成,故稱之為自然正交化定理.

相較於(Gram-Schmidt¢s 合力創設的orthogonalization 正交化),

既難懂又難學.長久以來,欺世盜名.瓦釜雷鳴,莫此為甚.

竟以步驟混充證明.謹代為證明如下:

 設{a₁,…,a_n}為布於複數域內積向量空間之一組基底向量.令b₁=a₁,

假定{b₁,…,b_k-1}為{a₁,…,a_k-1}之正交基底,1<k£n.

則b_ii=b_i‧b_i>0,且當i¹j,b_ij=b_i‧b_j=0.I£i<k, I£j<k,.

令P_ik=b_i‧a_k,P_ki=a_k‧b_i,I£i<k, I£j<k.

b_k=a_k-{(P_k1／b₁₁)b₁+(P_k2／b₂₂) b₂+…+

       (P_k(k-1)／b_(k-1)(k-1))b_(k-1)}_.

則{b₁,…,b_(k-1),b_k}為{a₁,…,a_(k-1),a_k}之正交基底

證:  

 令cb_k表k階向量行列式,[b₁₁,…,0,b₁]表cb_k之第1列,…,

 [0,…,b _(k-1)(k-1),b_(k-1)]表cb_k之第(k-1)列,…,

 [P_ki,…, P_{k (k-1)},a_k]表cb_k之第k列,1<k£n.c¹0,c為常數.

 P_ki=P¢_ik為P_ik之共軛複數.由於b₁=a₁,   

 且{b₁,…,b_(k-1)}為{a₁,…,a_(k-1)}之正交基底,1<k£n.

{a₁,…,a_(k-1),a_k}為線性無關,  

則{b₁,…,b_(k-1),a_k}亦必為線性無關.®

cb_k‧a_k=B_k表k階數字行列式,                                    

[b₁₁,…,0, P_1k]表cb_k‧a_k=B_k之第1列,…

 [0,…,b _(k-1)(k-1),P_(k-1)k]表cb_k‧a_k=B_k之第(k-1)列,…,

 [P_ki,…, P_{k (k-1)},a_kk]表cb_k‧a_k=B_k之第k列.

 cb_k‧b_i表k階數字行列式,[b₁₁,…,0, b_1i]表cb_k‧b_i之第1列,…,

[0,…, b _(k-1)(k-1), b_(k-1)i]表cb_k‧b_i之第(k-1)列,

 [P_ki,…, P_k(k-1), P _ki]表cb_k‧b_i之第k列,

 且b_ii=b_i‧b_i>0,b_ij=b_i‧b_j=0,i¹j,"1£i<k,1£j<k.

 cb_k‧b_i=0,1£i<k.®b_k‧b_i=0,即得證

 {b₁,…,b_(k-1),b_k}為{a₁,…,a_(k-1),a_k}之正交基底.

cb_k=B_1kb₁+B_2kb₂+…+B_k-1kb_k-1+B_kka_k

B_ik=(-1)^i+k△_ik為行列式cb_k或B_k在第i列第k行的餘因式.

△_ik為(k-1)階行列式,[b₁₁,0,…,0,0]表△_ik之第1列, 

[0,b₂₂,0,…,0]表△_ik之第2列,… 

[0,0,…,b _(i-1)(i-1),…0]表△_ik之第(i-1)列,

[0,0,…,b _(i+1)(i+1),…0]表△_ik之第i列, ……     

[0,0,…,0,0,0,…b _(k-1)(k-1)]表△_ik之第(k-2)列,

[P_k1,P_k2,…,P_k(i-1),P_ki,P_k(i+1),…P_k(k-1)]表△_ik之第(k-1)列,

由行列式之運算規則,得

△_ik=(-1)^(k-1)+i P_kib₁₁…b_(i-1)(i-1)b_(i+1)(i+1)…

      b_(k-1)(k-1),

B_ik=(-1)^i+k△_ik=(-1)^i+k(-1)^(k-1)+i                                     

P_kib₁₁…b_(i-1)(i-1)b_(i+1)(i+1)…b_(k-1)(k-1)

=-b₁₁…b_(i-1)(i-1)P_kib_(i+1)(i+1)…b_(k-1)(k-1) 

_{=-(Pki Bkk／bii),1£i<k.}

cb_k=B_1kb₁+B_2kb₂+…+B_k-1kb_k-1+B_kka_k,選取c=B_kk>0.®

b_k=B_1kb₁+B_2kb₂+…+B_k-1kb_k-1+a_k=a_k-(P_ki b_i／b_ii).

即得證{b₁,…,b_(k-1),b_k}為{a₁,…,a_(k-1),a_k}之正交基底.

是謂Gram-Schmidt¢s正交化基底的步驟.

例1.

  設a₁=[1,1,0], a₂=[1,2,0], a₃=[0,1,2].  

求{a₁, a₂, a₃}之正交基底.

解一:由基底向量之自然正交化

a₁₁=a₁‧a₁=2,a₂₁=a₁₂=a₁‧a₂=3, a₂₂=a₂‧a₂=5,   

a₁₃=a₃₁=a₃‧a₁=1,a₃₂=a₃‧a₂=2.®  

b₁=a₁=[1,1,0],b₂為由[2,a₁],[3,a₂]組成之2階行列式.

由行列式之運算規則,得

b₂=2a₂-3a₁=2[1,2,0]-3[1,1,0]=[-1,1,0],   

cb₃為由[2,3,a₁],[3,5,a₂],[1,2,a₂]組成之3階行列式.

由行列式之運算規則,得 

cb₃=a₁-a₂+a₃=[1,1,0]-[1,2,0]+[0,1,2]=[0,0,2]

=2[0,0,1]=2b₃.取c=2.®b₃=[0,0,1].

即得{b₁=[1,1,0],b₂=[-1,1,0],b₃=[0,0,1]}

為{{a₁, a₂, a₃}}之正交基底.

解二:由Gram-Schmidt基底向量之正交化步骤                   

   設a₁=[1,1,0], a₂=[1,2,0], a₃=[0,1,2]. 

b₁=a₁=[1,1,0],b₁₁=a₁‧a₁=2, P₂₁=a₂‧b₁=3.®

cb₂=a₂-(p₂₁／b₁₁)b₁=[1,2,0]-(3／2)[1,1,0] 

=[-1／2,1／2,0]=-(1／2)[-1,1,0].

取 c=1／2.® b₂=[-1,1,0].b₂₂=b₂‧b₂=2.

P₃₁=a₃‧b₁=1, P₃₂=a₃‧b₂=1.®

cb₃=a₃-(p₃₁／b₁₁)b₁-(p₃₂／b₂₂)b₂

=[0,1,2]-(1／2)[1,1,0]-(1／2)[-1,1,0]=[0,0,2].

取c=2.®b₃=[0,0,1]. 

即得{b₁=[1,1,0],b₂=[-1,1,0],b₃=[0,0,1]}

為{{a₁, a₂, a₃}}之正交基底.

例2.

  令a=[a₁,a₂,a₃,a₄],b=[b₁,b₂,b₃,b₄]為布於複數域之

4維內積向量空間中之向量: 

定義 a．b=a₁b¢₁+a₂b¢₂+a₃b¢₃+a₄b¢₄為二向量a, b之內積.

令a₁=[-1,0,i,1], a₂=[1,i,0,1+i], a₃=[-i,0,i,0].

求{a₁,a₂,a₃}之正交基底.

解一:由基底向量之自然正交化

  由a₁=[-1,0,i,1], a₂=[1,i,0,1+i], a₃=[-i,0,i,0]. 得

a₁₁=a₁‧a₁=3,  a₁₂=a₁‧a₂=-i, a₂₁=i, a₂₂=a₂‧a₂=4,   

a₁₃=a₁‧a₃=1-i,a₃₁=a₃‧a₁=1+i,a₂₃=a₂‧a₃=i.

a₃₂=a₃‧a₂=-i.a₃₃=a₃‧a₃=2.®

b₁=a₁, b₁‧b₁=b₁₁=3,

b₂為由[3, a₁],[i,a₂]組成之2階行列式.

由行列式之運算規則,得

b₂=3a₂-ia₁=3[1,i,0,1+i]-i[-1,0,i,1]  

=[3+i,3i,1,3+2i],  

b₂‧b₂=33.                      

b₃為由[3,-i,a₁],[i,4, a₂],[1+i,-i, a₃]組成之3階行列式.

由行列式之運算規則,得

b₃=(-3-4i)a₁+(1+2i)a₂+11a₃

=(-3-4i)[-1,0,i,1]+(1+2i)[1,i,0,1+i]+11[-i,0,i,0]

=[4-5i,-2+i,4+8i,-4-i],

b₃‧b₃=b₃₃=143.

即得{b₁, b₂, b₃}为{a₁, a₂,a₃}之正交基底.且

b₁‧b₁+b₂‧b₂+b₃‧b₃=(b₁+b₂+b₃)‧(b₁+b₂+b₃)=179.

解二:由Gram-Schmidt基底向量之正交化步骤

  由a₁=[-1,0,i,1], a₂=[1,i,0,1+i],a₃=[-i,0,i,0]. 得

b₁=a₁=[-1,0,i,1],b₁₁=a₁‧a₁=3, P₂₁=a₂‧b₁=i.

cb₂=a₂-(p₂₁／b₁₁)b₁=[1,i,0,1+i]-(i／3)[-1,0,i,1]

=[1+(i／3),i,(1／3),1+(2i／3)].

cb₂=[1+(i／3),i,(1／3),1+(2i／3)].

取c=1／3.®b₂=[3+i,3i,1,3+2i].b₂₂=b₂‧b₂=33,

P₃₁=a₃‧b₁=1+i, P₃₂=a₃‧b₂=-1-2i,®

(p₃₁／b₁₁)=(1+i)／3),p₃₂／b₂₂)=(-1-2i)／33).® 

 cb₃=a₃-(p₃₁／b₁₁)b₁-(p₃₂／b₂₂)b₂

 =[-i,0,i,0]-(1+i)／3)[-1,0,i,1]           

  -(-1-2i)／33)[3+i,3i,1,3+2i]. 

取c=1／33.®

b₃=33[-i,0,i,0]-11(1+i)[-1,0,i,1]+(1+2i) [3+i,3i,1,3+2i]

=[12-15i,-6+3i,12+24i,-12-3i]. b₃₃=b₃‧b₃=1287.

b₁+b₂+b₃=[14-14i,-6+6i,13+25i,-8-i].

即得{b₁, b₂, b₃}为{a₁, a₂,a₃}之正交基底.且 

b₁‧b₁+b₂‧b₂+b₃‧b₃=(b₁+b₂+b₃)‧(b₁+b₂+b₃)=1323.

例3.譯自基礎線性代數教科書   

  於多項式內積向量空間P(x)中:P=p(x),Q=p(x),

 定義P‧Q為二向量P, Q之內積.

P‧Q=p(x)q(x)dx_(-1®1)為從-1到1之定積分.

設a₁=1,a₂=x,a₃=x².

試證{a₁,a₂,a₃}為線性無關.並求{a₁,a₂,a₃}之正交基底.

 解一:由基底向量之自然正交化

   a₁₁=a₁‧a₁=dx_(-1®1)=2, a₂₁=a₁₂=a₁‧a₂=xdx_(-1®1)=0,

 a₂₂=a₂‧a₂=a₁₃=a₁‧a₃=a₃₁=a₃‧a₁=x²dx_(-1®1)=2／3,

 a₂₃=a₂‧a₃=a₃₂=a₃‧a₂=x³dx_(-1®1)=0,

a₃₃=a₃‧a₃=x⁴dx_(-1®1)=2／5.®

b₁=a₁=1, b₁‧b₁=b₁₁=2,

cb₂為由[2,1],[0, x]組成之2階行列式.

由行列式之運算規則,得

cb₂=2a₂=2x,取c=2.®b₂=x,b‧b₂=b₂₂=(2／3).

cb₃為由[2,0,1],[0,2／3,x],[2／3,0,x²]組成之3階

行列式. 由行列式之運算規則,得

cb₃=(4／9)(3x²-1).取c=4／9.®b₃=3x²-1.

即得{b₁, b₂, b₃}为{a₁, a₂,a₃}之正交基底.且

b₁‧b₁+b₂‧b₂+b₃‧b₃=(b₁+b₂+b₃)‧(b₁+b₂+b₃)=64／15.

解二:由Gram-Schmidt基底向量之正交化步骤

b₁=a₁=1,b₁₁=a₁‧a₁=dx_(-1®1)=2,  

P₂₁=a₂‧b₁=xdx_(-1®1)=0. 

b₂=a₂-(P₂₁／b₁₁)b₁=a₂-0=x,  

b₂₂=b₂‧b₂=x²dx_(-1®1)=2／3.

®P₃₁=a₃‧b₁=x²dx_(-1®1)=2／3,  

P₃₂=a₃‧b₂=x³dx_(-1®1)=0. 

®cb₃=a₃-(p₃₁／b₁₁)b₁-(p₃₂／b₂₂)b₂=x²-(1／3).

取c=(1／3).®b₃=3x²-1,  

b₃‧b₃=b₃₃=(3x²-1)²dx_(-1®1)= 8／5.

即得{b₁=1,b₂=x,b₃=3x²-1}為{1,x,x²}之正交基底.且

b₁‧b₁+b₂‧b₂+b₃‧b₃=(b₁+b₂+b₃)‧(b₁+b₂+b₃)=64／15.

例4.譯自基礎線性代數教科書   

  於多項式內積向量空間P(x)中:P=p(x),Q=p(x),

定義P‧Q為二向量P, Q之內積.                    

P‧Q=xp(x)q(x)dx_(0®1)為從0到1之定積分.

設a₁=1,a₂=x,a₃=x².求{a₁,a₂,a₃}之正交基底.

解一:由基底向量之自然正交化 

a₁₁=a₁‧a₁=xdx_(0®1)=(1／2).

a₂₁=a₁₂=a₁‧a₂=x²dx_(0®1)=(1／3).

a₂₂=a₂‧a₂=a₁₃=a₁‧a₃=a₃₁=a₃‧a₁=x³dx_(0®1)= (1／4).

 a₂₃=a₂‧a₃=a₃₂=a₃‧a_{2=x⁴dx(0®1)=(1／5 ),}                     

a₃₃=a₃‧a₃=x⁵dx_(0®1)=(1／6).®

A₃為由[a₁₁,a₁₂,a₁₃],[a₂₁,a₂₂,a₂₃],[a₃₁,a₃₂,a₃₃]組成

之3階行列式.

[a₁₁,a₁₂,a₁₃]=[1／2),(1／3),(1／4)]=表A₃之第1列,

[a₂₁,a₂₂,a₂₃]=[1／3),(1／4),(1／5)]=表A₃之第2列,

[a₃₁,a₃₂,a₃₃]=[1／4),(1／5),(1／6)]=表A₃之第3列,

由行列式之運算規則,  得A₃ =1／432000 >0.

即得{a₁,a₂,a₃}為線性無關.且

b₁=a₁=1, cb₂為由[(1／2),1],[(1／3), x]組成之2階行列式.

由行列式之運算規則,得cb₂=(1／2)x-(1／3),  

取c=1／6.®b₂=3x-2.

cb₃為由[a₁₁,a₁₂,a₁],[a₂₁,a₂₂,a₂],[a₃₁,a₃₂,a₃] 

組成之3階行列式.

[a₁₁,a₁₂, a₁]=[(1／2),(1／3),1]表cb₃之第1列,

[a₂₁,a₂₂, a₂]=[(1／3),(1／4),x]表cb₃之第2列,

[a₃₁,a₃₂, a₃]=[(1／4),(1／5),x²]表cb₃之第3列,

由行列式之運算規則,得cb₃=(1／720)(10x²-12x+3), 

取c=(1／720).®

b₃=10x²-12x+3.即得{1,3x-2,10x²-12x+3}为{1,x,x²} 

之正交基底.

且b₁‧b₁=xdx_(0®1)=(1／2),     

b₂‧b₂=x(3x-2)²dx_(0®1)=(1／4),

b₃‧b₃=x(10x²-12x+3)²dx_(0®1)=(1／6).

(b₁+b₂+b₃)‧(b₁+b₂+b₃)=x(10x²-9x+2)²dx_(0®1)=(11／12).®

b₁‧b₁+b₂‧b₂+b₃‧b₃=(b₁+b₂+b₃)‧(b₁+b₂+b₃)=(11／12).

解:由Gram-Schmidt基底向量之正交化步骤

b₁=a₁=1,b₁₁=xdx_(0®1)=(1／2), 

P₂₁=a₂‧b₁=x²dx_(0®1)=(1／3).®

cb₂=a₂-(P₂₁／b₁₁)b₁=x-(2／3),  

取c=(1／3).®b₂=3x-2.

b₂₂=b₂‧b₂=x(3x-2)²dx_(0®1)=(1／4),

P₃₁=a₃‧b₁=x³dx_(0®1)=(1／4),           

P₃₂=a₃‧b₂=x³(3x-2)dx_(0®1)=(1／10). 

®cb₃=a₃-(P₃₁／b₁₁)b₁-(P₃₁／b₂₂)b₂

=x²-(1／2)-(2／5)(3x-2),

取c=(1／10).®b₃=10x²-12x+3.

即得{b₁=1, b₂=3x-2, b₃=10x²-12x+3}為{1,x,x²}之正交基底.

b₃₃=b₃‧b₃=x(10x²-12x+3)²dx_(0®1)

=(100x⁵-240x⁴+204x³-72x²+9x)dx_(0®1)=(1／6).且

b₁‧b₁+b₂‧b₂+b₃‧b₃=(b₁+b₂+b₃)‧(b₁+b₂+b₃)=(11／12).