由歌西不等式求三角形面積的快速方法

               作者: 遠東科技大學 鄧岱松

由歌西不等式導出三角形面積的快速方法

   設 O(0,0,…,0),A(a₁,a₂,…,a_n),B(b₁,b₂,…,b_n)為佈於

實數域n維線性空間E_n正交坐標系之坐標點,O(0,0,…,0)為原點,

O=[0,0,…,0]為零向量,A=[a₁,a₂,…,a_n],B=[b₁,b₂,…,b_n]

分別為 A(a₁,a₂,…,a_n),B(b₁,b₂,…,b_n)之位向量.

A．A=[(a₁)²+(a₂)²+…+(a_n)²],

B．B=[(b₁)²+(b₂)²+…+(b_n)²],

A．B=(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n),

(A．A)(B．B)³(A．B)²是謂歌西不等式.

(A．A)(B．B)-(A．B)²=4D². D爲三角形△OAB的面積.

且唯若A,B為線性相關.則D=0, (A．A)(B．B)=(A．B)².

證

A．A=[(a₁)²+(a₂)²+…+(a_n)²], B．B=[(b₁)²+(b₂)²+…+(b_n)²],

A．B=(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n),由向量的基本概念:

(A．B)²=(A．A)(B．B)cos²q,

q=∠AOB為二向量A,B 的交角.®

(A．A)(B．B)-(A．B)²=(A．A)(B．B)-(A．A)(B．B)cos²q

(A．A)(B．B)(1-cos²q)=(A．A)(B．B)sin²q

=(OA)²(OB)²sin²q=[(OA)(OB)sinq]²=[2D]²=4D².

即得證 (A．A)(B．B)-(A．B)²=4D²,

D爲三角形△OAB 的面積.且唯若A,B為線性相關.則D=0,

(A．A)(B．B)=(A．B)².

解題方法之比較

例1.設 A(3,-5),B(1,2),C(-2,3),求△ABC 的面積D.

解(一) 由高中數學教材

令a=AB=[a₁,a₂]=[-2,7],b=AC=[b₁,b₂]=[-5,8].

®2D=|a₁b₂-a₂b₁|=|-16+35|=19.

解(二) 由歌西不等式

令a=AB=[-2,7],b=AC=[-5,8].®

a．a=4+49=53, b．b=25+64=89, a．b=10+56=66.

®53(89)-(66)²=4717-4356=361=4D²,2D=19,

解(三) 由三角不等式

 由 BC=[-3,1],AC=[-5,8], AB=[-2,7].®

 a=(BC)=Ö(10),b=(AC)=Ö(89),c=(AB)=Ö(53).

由½b-c½<a<b+c,得 Ö(89)-Ö(53)<Ö(10)<Ö(89)+ Ö(53),

89+53-2Ö(4717)<10<89+53+2Ö(4717),

142-2Ö(4717)<10<142+2Ö(4717).®

16D²=(2Ö(4717)+132)(2Ö(4717)-132),

4D²=(Ö(4717)+66)( Ö(4717)-66)=4717-4356=361,2D=19.

解(四) 由海龍公式

  由 a=(BC)=Ö(10),b=(AC)=Ö(89),c=(AB)=Ö(53).®

s=(a+b+c)/2=[Ö(10)+Ö(89)+Ö(53)]/2,

s-a=[Ö(89)+Ö(53)-Ö(10)]/2,

s-b=[Ö(10)-Ö(89)+Ö(53)]/2,

s-c=[Ö(10)+Ö(89)-Ö(53)]/2,

s(s-a)={[Ö(10)+Ö(89)+Ö(53)]/2}{[Ö(89)+Ö(53)-Ö(10)]/2}

={[Ö(89)+Ö(53)]²-10}/4={89+53+2Ö(4717)-10}/4

={2Ö(4717)+132}/4=[Ö(4717)+66]/2,

(s-b)(s-c)={[Ö(10)-Ö(89)+Ö(53)]/2}{[Ö(10)+Ö(89)-Ö(53)]/2}

={10-[Ö(89)-Ö(53)]²]}/4={10-[89+53-2Ö(4717)]}/4

=[2Ö(4717)-132]/4= [Ö(4717)-66]/2,

s(s-a)(s-b)(s-c)

={[Ö(4717)+66]/2}{[Ö(4717)-66]/2}=[4717-4356]/4=(361)/4,

D=Ös(s-a)(s-b)(s-c)=(19)/2.

例2.設 A(1,-1,2),B(5,1,3),C(-4,3,5),求△ABC的面積D.

解(一) 由歌西不等式

  令a=AB=[4,2,1],b=AC=[-5,4,3].®a．a=21,

b．b=50,a．b=-9. 4D²=21(50)-81=969,

解(二) 由三角不等式

   BC=[-9,2,2],AC=[-5,4,3],AB=[4,2,1].®

a=(BC)=Ö(89),b=(AC)=Ö(50),c=(AB)=Ö(21).

由½b-c½<a<b+c,得 Ö(50)-Ö(21)<Ö(89)<Ö(50)+ Ö(21),

50+21-2Ö(1050)<89<50+21+2Ö(1050).®

16D²=(2Ö(1050)-18)(2Ö(1050)+18), 

4D²=(Ö(1050)-9)(Ö(1050)+9)=969.

解(三) 由海龍公式

由 a=(BC)=Ö(89),b=(AC)=Ö(50),c=(AB)=Ö(21).®

s=(a+b+c)/2=[Ö(89)+Ö(50)+Ö(21)]/2,

s-a=[Ö(50)+Ö(21)-Ö(89)]/2,

s-b=[Ö(89)-Ö(50)+Ö(21)]/2,

s-c=[Ö(89)+Ö(50)-Ö(21)]/2,

s(s-a)={[Ö(89)+Ö(50)+Ö(21)]/2}{[Ö(50)+Ö(21)-Ö(89)]/2}

={[Ö(50)+Ö(21)]²-89}/4={50+21+2Ö(1050)-89}/4

={2Ö(1050)-18}/4=[Ö(1050)-9]/2,

(s-b)(s-c)={[Ö(89)-Ö(50)+Ö(21)]/2}{[Ö(89)+Ö(50)-Ö(21)]/2} 

={89-[Ö(50)-Ö(21)]²]}/4={89-[50+21-2Ö(1050)]}/4 

=[2Ö(1050)+18]/4=[Ö(1050)+9]/2, 

 s(s-a)(s-b)(s-c)

={[Ö(1050)-9]/2}{[Ö(1050)+9]/2}=[1050-81]/4=(969)/4,

D=Ös(s-a)(s-b)(s-c)=Ö(969)/2.

例3.設 A(2,1,-1,1,5,),B(3,4,1,-1,7),C(1,0,-3,2,6),

   求△ABC 的面積D.

解(一) 由歌西不等式

 令a=AB=[1,3,2,-2,2],b=AC=[-1,-1,-2,1,1].®

a．a=22,b．b=8,a．b=-8.®

4D²=22(8)-64=112,D²=28,D=2Ö7.

解(二) 由三角不等式

BC=[-2,-4,-4,3,-1],AC=[-1,-1,-2,1,1],

AB=[1,3,2,-2,2].®

a=(BC)=Ö(46),b=(AC)=Ö8,c=(AB)=Ö(22).

由½b-c½<a<b+c,得 Ö(22)-Ö8 <Ö(46)<Ö(22)+ Ö8.®

30-2Ö(176)<46<30+2Ö(176).®

16D²=(2Ö(176)-16)(2Ö(176)+16),

4D²=(Ö(176)-8)(Ö(176)+8)=112,D²=28,D=2Ö7.

解(三) 由海龍公式

  由 a=(BC)=Ö(46),b=(AC)=Ö8,c=(AB)=Ö(22).®

s=(a+b+c)/2=[Ö(46)+Ö8+Ö(22)]/2,

s-a=[Ö8+Ö(22)-Ö(46)]/2,s-b=[Ö(46)-Ö8+Ö(22)]/2,

s-c=[Ö(46)+Ö8-Ö(22)]/2,

s(s-a)={[Ö(46)+Ö8+Ö(22)]/2}{[Ö8+Ö(22)-Ö(46)]/2}

={[Ö8+Ö(22)]²-46}/4={2Ö(176)-16}/4

={8Ö(11)-16}/4=2Ö(11)-4.

(s-b)(s-c)={[Ö(46)-Ö8+Ö(22)]/2}{[Ö(46)+Ö8-Ö(22))]/2}

={46-[Ö8-Ö(22)]²]}/4={46-[30-2Ö(176)]}/4

={8Ö(11)+16}/4=2Ö(11)+4,

s(s-a)(s-b)(s-c)=[2Ö(11)-4][2Ö(11)+4]=28,

D=Ös(s-a)(s-b)(s-c)=2Ö7.

例4 名題鑑賞.

設a,b,c爲任何實數,且bc¹0.試證

Ö(a²-ab+b²),Ö(a²+ac+c²),Ö(b²+c²).

可爲三角形之三邊,並求此三角形的面積D.

證與解

由a²-ab+b²=(a-b/2)²+3b²/4,a²+ac+c²=(a+c/2)²+3c²/4,

可知對於任何實數a,b,c,bc¹0.恒有

a²-ab+b²>0,b²+c²>0,a²+ac+c²>0.

令 p=Ö(a²-ab+b²),q=Ö(a²+ac+c²),r=Ö(b²+c²).®

p>0,q>0,r>0,

假定(AB)=p,(AC)=q,(BC)=r 爲三角形△ABC之三邊.®

AB．AB =p²=a²-ab+b²,AC．AC=q²=a²+ac+c²,

BC．BC=r²=b²+c²,BC=AC-AB,

BC．BC=(AC-AB)．(AC-AB)

=AB．AB+AC．AC-2(AB．AC),

2(AB．AC)=AB．AB+AC．AC-BC．BC

=a²-ab+b²+a²+ac+c²-(b²+c²)=2a²-a(b-c).

解(一) 由歌西不等式

(AB．AB)( AC．AC)-(AB．AC)²=4D².®

16D²=4(AB．AB)(AC．AC)-4(AB．AC)²

=4(a²-ab+b²)(a²+ac+c²)-[2a²-a(b-c)]²

=4a⁴-4a³(b-c)+4a²(b²+c²-bc)-4abc(c-b)+4b²c²

  -[4a⁴-4a³(b-c)+a²(b-c)²]

=4a²(b²+c²-bc)-4abc(c-b)+4b²c²-a²(b-c)²

=4a²(b²+c²-bc)-4abc(c-b)+4b²c²-a²(b-c)²

=(3b²-2bc+3c²)a²+4bc(b-c)a+4b²c².

3b²-2bc+3c²=2b²+2c²+(b-c)²>0.由判別式

d=[2bc(b-c)]²-4b²c²(3b²-2bc+3c²)=-8b²c²(b²+c²)<0,

可知  16D²=(3b²-2bc+3c²)a²+4bc(b-c)a+4b²c²>0.

且唯若D>0,D為△ABC 的面積.

p=Ö(a²-ab+b²),q=Ö(a²+ac+c²),r=Ö(b²+c²)

可爲三角形之三邊,(AB)=p=Ö(a²-ab+b²),

(AC)=q=Ö(a²+ac+c²),(BC)=r=Ö(b²+c²).

解(二) 由三角不等式「如前文」

解(三) 由海龍公式「留待數學傳播大顯身手.」

   從本文解題方法之比較.顯然最快的方法是由歌西不等式,

最煩最慢的方法便是那海龍公式,

而中研院數學所數學傳播對前文:

「由三角不等式導出三角形面積的快速方法」

「審核結果:退稿」的「審核意見」

一個証明的方式正如作者所提出的辦法,請參見網路“海龍公式”」

恰是對這鼎鼎大名的海龍公式情有獨鍾.

其如是,何不展示一下海龍絕學,讓國人開開眼界.

因此本人擬將「由歌西不等式導出三角形面積的快速方法」一文,

再次投寄數學傳播,藉以測試該期刊見賢思除瘋狂程度.

兼之欣賞那信口雌黃言不及義的審核意見.