畢氏定理的無限推廣與得心應手的快速方法
作者: 臺大數學系, 鄧天錫
電子信箱:bb690827@yahoo.com.tw
根據網路報導:
「畢氏定理的影響及一般化可應用到相當廣泛的領域，…。
天文學家克卜勒（Kepler）認為畢氏定理為幾何學上的黃金…。
一些學者認為畢氏定理在畢氏前一千年就為人所熟知。現在收藏於
哥倫比亞大學的巴比倫楔形泥版322，是西元前1700年左右的文物。
…。經過 Neugebauer 等學者的解釋，
我們可以看到其上有十五組畢氏三元組。…就是直角三角形
兩股長為 a，b，斜邊長為 c。…。
則 a=(p2-q2)，b=2pq，c=p2+q2。其中p，q為整數。…。」
然則數學的發展, 在於創新與推廣,不在於考古與收藏.
沒有創新, 便沒有推廣. 而一切新創的定理, 必須經過嚴謹的證明,
而後才有得心應手的快速方法. 進而可以處理更為廣泛的問題.
以達於數論中畢氏定理多元組無限推廣的需求.
茲就本人新創的方法對畢氏定理推廣如下:
一. 數論中畢氏定理的無限推廣.
設a,b,c,…,x為正整數. a<b<c<…<x. 可得畢氏多元組
a2+b2+c2+…=x2. 但三元組未必是
a = p2-q2, b =2pq. p , q 為整數.
儘管 Neugebaue 之流號稱學者, 只是對三元組的解說,
不過是特例而已, 根本不夠完整. 如同鼠目寸光, 好比瞎子摸象.
更談不上數論中畢氏定理多元組的無限推廣.
事實證明, 下列各個例題中的 a 可為任意正整數,
不然就請鑑賞 Neugebaue 之輩及那些學成歸國的專家團隊, 把
下列最簡單的畢氏三元組中的 a , b 變成 a=p2-q2, b =2pq 吧！
(一) 數論中任意大的畢氏三元組.
a2+b2=x2. x 必為整數. 舉例如下:
1. a =4833, b=11678944. 2. a=10368, b=26873855.
(二) 數論中任意大的畢氏四元組.
a2+b2+c2=x2. x 必為整數. 舉例如下:
1. a=144, b=5183, c=13442112.
2. a=143, b=10224, c=52275312.
(三) 數論中任意大的畢氏五元組.
a2+b2+c2+d2=x2. x必為整數. 舉例如下:
1. a=96, b=2303, c=2306, d=5315330.
2. a=144, b=5183, c=5186, d=26889410.
(四) 數論中步步高升的畢氏多元組.
a2+b2+…=x2. x必為整數. 舉例如下:
1. a=16, b=63. 2. a=16, b=63, c=2112.
3. a=16, b=63, c=66, d=4290,
4. a=16, b=63, c=2112, d=2232384.
5. a=16, b=63, c=2112, d=2114, e=4466882.
6. a=16, b=63, c=66, d=4290, e=9206340.
7. a=16, b=63, c=66, d=4290, e=4292, f=18416972.
以上命題, 取之不盡,
像是: 7. 當a=16, b=63, c=66, d=4290, e=4292, f=18416972.
如何得知
(16)2+(63)2+(66)2+(4290)2+(4292)2+(18416972)2=x2.
x 必為整數.
又當a=157486392115…6…的十進位的位數延伸到億萬光年的
任何一正整數, 同樣可以求得一組或多組 b,c,…,x 等正整數,
使a2+b2+c2+…=x2 .
相較於網路所說 : 「張益唐突破了這道難題。…。聖荷西州立大學
（San Jose State University）的數論學者高茲頓
（Daniel Goldston）表示，這項成果「極其驚人」…。
從此以後, 這些迷人的猜測便成了數學領域中的聖杯,
雖然無法實際應用, 地位卻十分崇高。」
針對於網路所說, 不由得有感而發:
有錢能使鬼推磨, 外來和尚好念經.
大吹法螺鳴得意, 陷入癡迷更忘形.
攀附狗尾, 認作貂裘. 飾非為是, 弄巧成拙.
顧盼自雄, 沐猴而冠. 居位無能, 不知羞慚.
孔子說:「 視其所以, 觀其所由, 察其所安, 人焉廋哉 ?人焉廋哉 ?」
迷人猜測癡人夢, 地位崇高無實用.
誇示成果互標榜, 虛擬聖杯樂陶然.
從此惡臭逐青芬, 榮恥倒置辱斯文.
語云:「西子蒙不潔, 人皆掩鼻而過之.」
不識數學真面目, 只緣深陷迷霧中.
二. 依據內積空間的定義與公設, 而得畢氏定理的推廣.
舉例如下:
例1. 令 a =2x, b =3x2-1, c = (x-1)(3x+1) .
定義｜a｜2= a‧a 為4x2dx 從 -1 到 1 的定積分,
｜b｜2= b‧b 為 (3x2-1)2dx 從 -1 到 1 的定積分,
得畢氏三元組｜a｜2+｜b｜2=｜c｜2 對嗎？
例2. 令 a =2x, b =9x2-3, c =5x3-3x, d =5x3+9x2-x-3.
定義｜a｜2= a‧a 為4x2dx 從 -1 到 1 的定積分,
｜b｜2= b‧b 為 (9x2-3)2dx 從 -1 到 1 的定積分,
｜c｜2 = c‧c 為 (5x3-3x)2dx 從 -1 到 1 的定積分,
｜d｜2= d‧d 為 (5x3+9x2-x-3)2dx 從 -1 到 1 的定積分.
得畢氏四元組｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2 =｜d｜2.對嗎？
例3. a=2, b =3x, c =3x2-1, d =5x3-3x, e =5x3+3x2+1.
定義 ｜a｜2= a‧a 為4dx 從 -1 到 1 的定積分,
｜b｜2= b‧b 為9x2dx 從 -1 到 1 的定積分,
｜c｜2 =c‧c 為 (3x2-1)2dx 從 -1 到 1 的定積分,
｜d｜2 =d‧d 為 (5x3-3x)2dx 從 -1 到 1 的定積分,
｜e｜2= e‧e 為 (5x3+3x2+1)2dx 從 -1 到 1 的定積分.
得畢氏五元組｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2+｜d｜2 =｜e｜2 對嗎？
三. 依據複數域4維內積向量空間的定義與公設,
而得畢氏定理的推廣.舉例如下:
例1. 令 a = [-2,0,2i,2], a’ = [-2,0,-2i,2],
b =[3+i,3i,1,3+2i],b’ =[3-i,-3i,1,3-2i],
c =[5+i,3i,1-2i,1+2i], c’ =[5-i,-3i,1+2i,1-2i].
定義｜a｜2= a‧a’, ｜b｜2= b‧b’, ｜c｜2=c‧c’.
得畢氏三元組｜a｜2+｜b｜2 =｜c｜2 對嗎？
例2. 令 a = [6,0,-6i,-6], a’ =[6,0,6i,-6];
b = [6+2i, 6i,2,6+4i], b’ =[6-2i,-6i,2,6-4i];
c = [-4+5i,2-i,-4-8i,4+i], c’ =[-4-5i,2+i,-4+8i,4-i];
d = [-4+7i,2+5i,-2-2i,16+5i],
d’ =[-4-7i,2-5i,-2+2i,16-5i];
定義｜a｜2=a‧a’,｜b｜2= b‧b’ ,｜c｜2= c‧c’,｜d｜2= d‧d’.
得畢氏四元組｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2 =｜d｜2. 對嗎？
以上畢氏定理推廣之各個例題是源自於本人所創設的
「基底向量自然正交化」.
歸類於鄧天錫論文集中的一篇英文稿標題為
“Natural orthogonalization framed by unified expressions”.
鑒於時下世界各大學數學教材所沿用
“Gram-Schmidt orthonormalization process”
之過程太複雜. 尤其是那些來愈多的分數和根數演算,
令人不勝其煩. 為此我創設了一以貫之, 一目了然的
「自然正交化的統合公式」.完全沒有煩瑣的分數和根數的演算
不僅易學易懂不易忘, 還兼具有自動檢驗的功能.
一方是默默無聞的苦行僧, 另一方是兩位鼎鼎大名的洋和尚.
然則真理之前, 人人平等. 一經比對, 立見真章.
數學原是方法論, 無分新舊與華洋. 既然天文學家克卜勒(Kepler)
認為畢氏定理三元組為幾何學上的黃金. 那麼國人創設的內積向量
空間及數論中畢氏多元組的無限推廣又是什麼？
卻嫌金玉污風骨, 師夷末技品格低, 陋室潛研抗打壓, 突破封殺現光華.
殊不知: 壓力愈高, 彈力愈大. 此所以: 打壓由他, 研習在我. 不亦樂乎！
修築傳習康莊道, 見證數學真風采.
許將微軀千般劫, 願得春風化雨來.
堅持理念 服膺真理 虛心受教 聞過則喜
事關數學之革新與國族之尊榮, 乃不揣鄙陋, 敢效獻曝之忱.
臺大數學系: 鄧天錫 E-mail:bb690827@yahoo.com.tw
寓臺灣省嘉義市和平路261之1號9F-4.於2014年8-9月.
