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從卡魯薩‧克萊恩奇蹟到卡拉比‧丘流形 ─ 三度空間只是我們的錯覺﹝弦論五﹞
2009/08/18 02:21
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 愛因斯坦終其一生無法成功的理論是「統一場論」。在那個現代物理啟萌的年代,人類所知的宇宙間作用力只有重力和電磁力。原子核內的強、弱作用力尚未被發現。許多科學家努力想把這兩種力統一論述,也就是以一套理論來解釋。既然廣義相對論解釋重力,而愛因斯坦是相對論的原創者,自然也非常希望此舉可以成功。他從「場」的觀念出發,最後畢竟功敗垂成。什麼叫做「場」? 簡單介紹場的概念。


1921年時,一位名叫提奧多‧卡魯薩的物理學家,突發奇想地把四度空間「帶入」相對論的方程式重新演繹,最後竟然「跑出」電磁波的方程式來!此一發現絕對意義非凡:它證明重力和電磁力在某種深層意義上是「血脈相連」的。重力和電磁力是否從此可以用同一套理論來解釋了呢?

長話短說。卡魯薩的理論雖然在向愛因斯坦「提報」兩年後得到愛氏的「加持」,最終還是因與實驗結果不符,一些現象無法解釋而被淘汰。此後「標準模型」益趨成熟,許多預測經實驗證明為真,理論逐漸被大家接受而大行其道,並在上世紀後半葉將電磁力、弱作用力、強作用力統合解釋成功,得以盛行不衰至今  雖然它還是無法統合重力。

卡魯薩的理念並未為世人遺忘,用俗話來講,他只是生錯了時代。弦論基本上是將卡魯薩的理念「發揚光大」。可惜卡魯薩生得太早,那時人類所知不多,「卡(魯薩)公嘛沒效」。

卡魯薩理論隨後在 1926 年經另一位名叫奧斯卡‧克萊恩的瑞典數學家改良,整合之後稱為「卡魯薩─克萊恩理論」,它的意思是這樣的:

宇宙空間顯然有三個可知可感可見的維度,也就是我們熟悉的長、寬、高,這些構成立體的度量。如果假設還有一個蜷曲到看不見的維度的話,此維度是即第四度空間。這第四度空間不為我們知悉,可是也沒有任何理由斷定它不能存在。卡魯薩和克萊恩從此第四度空間「假設存在、只是蜷曲到看不見」出發,演繹結果證明重力和電磁力「同文同種」,「一國兩制」﹝要說「一邊一國」也可以﹞。

所謂「蜷曲」可以用類比的方式來瞭解。

1+1


一條無限長的水管近看有二維  一維是水管的長度,另一維是一個圓圈,是有限的長度。無數個圓圈接連在一起形成水管的管身外壁。從很遠的地方觀察,水管看起來只有一維  水管的長度。即使近看,只要水管夠細  像細菌的小腸那麼細﹝只是比喻,意即要多細都可以﹞,它就是二維中有一維「蜷曲」到不見了。請注意:「水管長度延展的方向」,不是水管本身,是一維。同理,「水管管身外壁表面在第一維的每一點上延展的方向」,不是水管外壁,是另一維。水管本身或外壁,只是橡皮或塑膠,不是重點。


2+1


地毯有長毛短毛的,也有一種是毛不剪斷,形成一個個圈圈的。如果這些圈圈小到無法觀測,這種地毯就像三維中有一維「蜷曲」到不見了。地毯本身有長、寬,也就是二維,蜷曲到不見了的就是那些地毯上每一個點都有的,無限細小的一維小圈圈。如上述,我們講的是地毯長、寬的方向,和地毯毛蜷曲的情形,是為兩度加一度,而不是地毯或毯毛本身。

 

2+2

  

如果一塊無限長寬的平滑地面上鋪滿一層小到看不見的小珠珠,這些小珠珠「的表面」是二維,加上平滑地面本身的長、寬二維就是四維。如果珠珠夠小,就是四維中有二維蜷曲到不見。從遠處看這地面還是二度空間。

 

3+1


潛過水的人就知道,所謂 blue water diving 就是身在一片深藍海中,前後左右上下望之無窮無盡,加上水的浮力與重鉛腰帶和潛水背心的調節,使人有一種無重力感的 sensation,真正覺得和在太空裡差不多。

如果我們想像宇宙的三度空間像海洋,再者如果這種三度空間裡的每一個點都存在著一個像水管例子裡的一維微型小圈圈「的位向」,極之細小又無所不在的話,就和卡魯薩─克萊恩的假設相去不遠了。注意這小圈圈本身也是空間的一個維度,和宏觀維度的長、寬、高一樣,並不是一個什麼「東西」。這正是四度空間中有一維蜷曲到不見。

3+3


把小圈圈改成極小的實心小珠子,充滿整個「空間的海洋」,就像是六度空間中有三維蜷曲到不見  實心小珠子是三度的物體。再次說明,並沒有「實心小珠子」這樣的東西,只是用它的三個位向﹝長、寬、高﹞來譬喻三個蜷曲起來的維度。


3+6


既然都講到這裡了,就讓我們一次把話說完:所謂弦論,就是以同一種「弦」在十度時空裡的振盪模式,來解釋一切物質與帶力粒子的所有包括電荷、色荷、質量等性質在內的,一種宇宙終極理論。


所謂的十度時空裡,一個度是時間,三個度是空間,另外還有六個「蜷曲到幾乎不見」的維度,叫做卡拉比‧丘「流形」﹝或「形狀」、「空間」﹞。所謂「幾乎不見」,就是普朗克長度大小。弦可以在卡拉比‧丘空間裡振盪,自由進出任一維度,而你我不行,就是因為弦極細小,約在普朗克長度之譜,而你我太大。


事實上我們手掌在空間輕輕一掃,不但掃過長、寬、高三個維度,同時也掃過無數卡拉比‧丘空間的六個蜷曲維度,只是我們自己不知道而已。

一個街頭舞者,翻來滾去,騰挪彈跳,讓人眼花撩亂,就像一個物體在三度空間裡振盪。一個弦在九度空間裡翻來滾去,騰挪彈跳地振盪個沒完沒了,何止讓人眼花撩亂?用數學來描述更是「怎一個難字了得」。拿布袋戲和皮影戲來比較就知道,物體在三度空間裡的運動模式,遠比在二度空間裡複雜,何況九度?

從「弦」和卡拉比‧丘空間出發,弦論的發展至今可謂一日千里。有沒有找到任何有價值或意義的東西?有的。有沒有證明出什麼實驗可以確認的理論?呃‧‧‧沒有。所以?所以「人人有希望,個個沒把握」。


下一篇,我們來談談弦論的數學。

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迴響(2) :
2樓. 盹龜雞~ 大梯田繡花球
2009/08/20 17:01
來上課 ~

遲到了, 還是要上課 .

終於知道三度空間以上  是怎麼回事了, 可我今天才弄懂;  那1921年就想出來用四維空間描述電磁場的卡魯薩真了不起.

想都沒想到在三度空間裡的舞蹈動作, 居然可以用多維度的思考描述出來. ~ 電腦計算幫了大忙吧.

觀念比較容易懂, 接下來的數學會不會很難 ? 都忘光光了 ~.

不用擔心,部落格什麼都是用說的,數學也是講講就好,誰真算啊?我自己的數學也不好,書看到公式一般就 skip 過去。幸好我已經不再須要學任何數學了。

你說的對極了,鏡對稱原理的發現,電腦幫了大忙。布萊恩‧格林為此還特地買了半打啤酒酬謝他們三個物理學家之中唯一會寫程式那個。這事兒才發生沒幾年呢!

部落格真是非常有趣,大家逛來逛去,到處去聽人家說故事,可說各有千秋也各擅勝場。我希望將來退休後好好的大逛特逛。現在只能蜻蜓點水。

講起來也挺奇怪的,以前小時候有誰喜歡作文課嗎?我都不記得有。為什麼現在居然有上十萬人最少,大家都在弄部落格?

GolfNut — 無心的邂逅2009/08/20 18:11回覆
1樓. 逸名
2009/08/20 14:11
既然眾人皆無語 請容在下插個畫

感恩‧‧‧,逸名兄爾近仙蹤何處,這一向,可好?

三隻企鵝煞是可愛,讓人愛不釋手。

我這篇小文,延續前面章節,倒有一貫脈絡,大概是寫得不好,所以不怎麼叫座。慚愧。再往下去,可能無以為繼。Brian Greene 的鏡對稱,說與不說間,煞費思量。

昨晚散步時,魚子醬問我:「你發明的那些小鋼珠‧‧‧怎麼回事?」,我一陣暈眩,暗叫「不好!」,踉蹌一步,險些跌倒。我最害怕的事情終於發生了。

也許暫停一下,先來篇搞笑的,其餘以後再說。尊意以為如何?

GolfNut — 無心的邂逅2009/08/20 15:19回覆
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