之前從電場與磁場逆向推衍至電勢場與磁勢場。有了電勢場與磁勢場的觀念，終於可以從真實論的宇宙正向推導電磁勢場。再從電磁勢場推導電磁場。

真實宇宙宏觀上是一個渾然一體的四維空間。空間有方向性稱為真實方向。有四維笛卡兒座標系使得任何光的方向與真實方向夾角為45度。空間中的物體是線狀的四維物體。物體沿線的四維路徑與真實方向夾角均小於45度。以夾角小於45度的直線為參考系稱為慣性參考系。

空間中有些物體帶有電荷。包圍帶電四維物體是充滿四維空間帶電性的場，是四維物體的伴生四維勢場。勢場中任何一點都可以有一條與物體四維路徑平行的直線通過。與積電荷的觀念類似，沿著這條線可以定義積電磁勢場。從積電磁勢場可以定義在這一點的真實四維電磁勢場(electromagnetic four potential)。如同真實四維電流一樣，真實四維電磁勢場是一個四維向量，方向指向切線前進的方向。值是固定的，不隨觀察者變化。這個向量的數值是這一點的真實電勢場值，是純量。

真實四維電磁勢場相對於觀察者是相對四維電磁勢場(φ,A)。其中φ 是相對電勢場，A是相對三維磁勢場。這裡是正向敘述，相對電勢場與相對三維磁勢場並不是像逆推般從電場與磁場推導出，而是定義。依這個定義，與相對四維動量及相對四維電流類似，對任何慣性觀察者，相對四維電磁勢場也滿足公式：

  ， ф是真實電勢場值

首先考慮慣性帶電荷物體。以電荷本身為參考系，也就是靜電荷狀態，相對四維電磁勢場是(ф,0,0,0)，相對電勢場值等於真實電勢場值，相對三維磁場為0。在閔考斯基空間中，整條直線上的真實電勢場都指向相同的方向，值都相同，依據庫侖定律

  ，q是電荷，r是在垂直三維空間中與電荷的距離，c是任何常數

由上面的定律可以推導出在靜電狀況下相對電磁勢場與電荷密度的關係為

  ，其中 是達朗貝爾(d’Alembert operator)運算符，ct對應時空轉化的時間軸

當參考系與電荷的四維路徑有夾角，也就是有相對速度，電磁勢場可以經由勞倫茲變換靜電磁勢場計算。而四維電流密度也可以經由勞倫茲變換靜電荷密度計算。上面的公式兩邊都經過同樣的變換，因此兩者的關係保持不變。

  ，其中A是三維磁勢場，j是三維電流密度。

合併成四維向量公式

  ，其中ψ是四維電磁勢場(φ,A)，i是四維電流密度。

之前已經說過，由於電磁勢場不能直接被人類測量，因此存在規範自由(gauge freedom)。要推導出這個極簡單的公式，必須將規範固定(gauge fixing)。這裡採用的是勞倫茨規範(Lorenz gauge)。

這個規範符合連續性方程式(continuity equation)。與之前真實電荷守恆相比較，代表真實電勢場值守恆。

相對四維電磁勢場方程式實際上是非齊次電磁波方程式(inhomogeneous electromagnetic wave equation)。當沒有四維電流(i=0)，四維電勢場方程式就稱為齊次電磁波方程式(homogeneous electromagnetic wave equation)。。這個電磁波方程式是基於電磁勢場，是電磁勢場的波動，應該稱為電磁勢波(electromagnetic potential wave)，是一個四維向量波動涵數。而且這個波的前進方向與真實方向夾角45度。

從馬克士威方程組也可以得出基於電場與磁場的電磁波方程式，是双向量波動函數。電場是直向量；磁場是旋向量。無論電場或磁場本身的方向都是在三維空間，但是波的前進方向仍然與真實方向夾角45度。

電磁勢波與電磁波是同一波，只是模式不同，理解也不同。再一次證明，同樣的現象可以有不同的模式，及不同的理解。關於電磁勢波與電磁波需要更進一步理解。

之前已經說過，以電勢場定義電磁場的公式是

這個定義看起來很怪。電場除了電勢場的梯度外又多了磁勢場對時間的變化率。磁場更怪，是磁勢場的旋度。為什麼是旋度？

以四維空間來從新理解這個定義。在四維空間中的每一點都有真實四維電磁勢場。那麼是不是每一點也都有真實四維電磁場呢？從電磁場的定義看來，沒有！電磁場其實是人類觀察的結果。

一個慣性人類觀察者的四維路徑是一條直線。在任何一個時間點都有一個垂直於四維路徑的三維空間。這個三維空間將四維物體及四維場切割成三維物體與三維場。對於這個觀察者，時空看起來像是一個愛因斯坦狹義相對論的時空。隨著時間前進，人以為三維空間的點不變，只是物體與場在變。這是錯覺，其實已經隨著時間的前進進到另一個三維空間。

在慣性觀察者的四維路徑上任取一個時間點。其垂直三維空間切割真實四維電磁勢場得到一個相對於觀察者的三維純量電勢場與一個三維向量磁勢場。電磁場是以這兩個場定義的。也就是說，沒有觀察者的三維空間切割，無法定義電磁場。由於電場與磁場都是由三維空間切割而來，電場與磁場向量的方向只能在三維空間中。電磁場只是景象物理的觀念，不是真實物理的觀念。

這麼怪的定義，即使是來自於人類的觀察，還是有疑問。為什麼人類的觀察是這樣？是僅僅人類的觀察，還是參雜了別的因素？

以上這些公式可以推導出馬克士威方程組。馬克士威方程組原本是從實驗歸納出的四個定律合併而來的。最大優點也是因為從實驗得來，適用於實際應用。缺點是只建立電場與磁場的相關性，卻沒有機制，意義不明。

由電磁勢場推導電磁場則是從電磁勢波方程式及電磁場定義正向推導出來。電場與磁場透過磁勢場互相關聯的機制自然呈現，較容易理解。

上面的電磁勢場的論述看起來簡單明瞭，其實留下很多問題。這些問題是什麼？後面會詳細討論。