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infinite--兩面鏡子
2008/10/01 21:12
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大廳中有兩面平行的鏡子。鏡子中除了大廳的擺設,還有對面鏡子的影像;而對面鏡子的影像中,又有第一面鏡子的影像。

這樣,二者互相映照,層層重疊,看似無窮無盡。

假設鏡子的品質沒有問題,再小的影像也看得到,鏡中的影像會是無限的嗎?

(上圖是電腦模擬的無限景像。)


印度人很早就知道不可計量的數並不就是無限。所以耆那教的經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把數分作三類:「可計的」、「不可計的」和「無限」。

許多我們視為無限的量,其實只是因為我們心智有侷限,無法處理而已,不是真的無限。

例如《阿彌陀經》說:「極樂國土眾生生者,皆是阿鞞跋致(意為不退轉),其中多有一生補處(意為來生成佛),其數甚多,非是算數所能知之,但可以無量無邊阿僧祇說。」阿僧祇就是無量數,但是這個無量的數並不是真的無限大,只是我們以算數無法計算而已。

真正的無限,它有一個特質,只要以無限乘以任何一個非零的數值,不管這個值多小,其結果都是無限。

我們常忘了光線也有速度,也就是說,光線從這裡到那裡,不管怎麼快,還是需要一點點時間的。如果兩面鏡子中的影像要無限的反映在對面的鏡子上,那就需要無限的時間,才能讓光線到達。

我們沒有無限的時間來觀察,所以鏡子中的影像就不會是無限的。


這個問題還有一個解:影像每反映一次,尺寸就會變小一點(因為距離更遠了一點)。當影像小到分子尺度、原子尺度甚至量子尺度的時候,就不能更小了,所以也無法滿足無限的條件。

不過先前已假設了,再小的影像也看得到。雖然這個假設並不怎麼合理,但是這題「腦筋急轉彎」的旨趣並不在於材料科學的極限或空間是否有最小的尺度等課題,所以我不把這個解當作「正解」,只是聊備一格而已。

或許,你還有其他的解答?

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迴響(4) :
4樓. 時和
2008/10/05 02:19
Sorry,第三項必須假設無基本粒子

>> 三、假如要驗證的話,鏡子的數目是 countable but infinite,但是在有限的時間內,只有有限個鏡子。


3樓. 時和
2008/10/05 02:09
有限的宇宙與基本粒子

一、假如宇宙膨脹的速度小於光速,則宇宙是有限的。因為算得出至多有多大。

二、假如物質有基本粒子,則莊子的說法就碰壁了。因為一百天後 2^(-100) 實在已經比已知的最小粒子小太多了。

三、假如要驗證的話,鏡子的數目是 countable but infinite,但是在有限的時間內,只有有限個鏡子。

四、在有限的宇宙中,恆星是 uncountable but finite。


關於第一點,你似乎只考慮到空間的無限,忽略了時間的無限。 琉璃帳2008/10/05 16:42回覆
2樓. nothing special
2008/10/03 08:47
我是

我是牆頭草
說過的 自己記不得了 當然是你說的對!!
就是這句話:「一尺之捶,日取其半,萬世不竭。」

謝謝啦~

我看 莊子的無窮觀要比你舉出的例子進步.
你的鏡子說一例 被光速破解了無窮的概念--鏡子數僅是uncountable 而不是 infinity.
莊子說的折半 永無盡.

1樓. nothing special
2008/10/02 07:53
中國古算經有記載

中國古算經早有記載:
尺長的棍子
日折其半.

假設 沒有度量上的問題
這根棍子
是永遠折不完的.

對不起
是九章? 還是那本算經? 早就還給大學教授了.
還得 請教大家.

中國的算經我不了解,謝謝你提起。

看了你的回應,我到網路上查了一下,發現《莊子》〈天下篇〉就有類似的說法:「一尺之捶,日取其半,萬世不竭。」

琉璃帳2008/10/02 18:22回覆