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選舉是票多的贏,票少的輸?多數決選舉方式的問題
2024/01/01 11:36
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台灣總統選舉方式,依憲法規定:「總統、副總統候選人應聯名登記,在選票上同列一組圈選,以得票最多之一組為當選。」這就是所謂「多數決」選舉方式(plurality voting),英文也稱first-past-the-postFPTPvoting。講白了就是票多的贏,票少的輸。

多數決簡單明瞭,各黨派似乎都無意見,但其實它有很多問題,特別在候選人超過兩組的時候:

1)       當選人可能得票未過半數。

2)       候選人可能沒有任何一組能夠在與其他候選人一對一PK時擊敗他們。假如候選人A在與B一對一PK時勝過B,B在與C一對一PK時勝過C,而C在與A一對一PK時勝過A。這種A>B>C>A的情況,稱作「循環多數」(cyclical majorities)。多數決的選舉方式不保證循環多數的情況不會發生。

3)       即使有候選人能夠在與其他所有候選人一對一PK時擊敗對方,他也不一定能當選。能夠在與其他所有候選人一對一PK時擊敗對方的候選人,稱作「孔多塞贏家」(Condorcet winner)。多數決的選舉方式不保證孔多塞贏家能夠當選。

4)       多數決的選舉制度產生的當選人,不但不必然是孔多塞贏家,他甚是可能是「孔多塞輸家」(Condorcet loser)。孔多塞輸家是在與其他所有候選人一對一PK時均被擊敗的候選人。多數決的選舉方式不保證孔多塞輸家不會當選。

5)       多數決容易因小黨或獨立候選人的參選而影響選舉結果(spoiler effect)。

6)       無論當選人獲得多少選票,一旦當選就是勝者全拿(winner-take-all)。

當候選人有三組或更多時,這些問題可以說是多數決選舉方式的惡夢。這些問題的發生會造成新當選的總統無法讓多數選民心服口服,其合法性甚至會被質疑。即使勉強就職,因為缺乏紮實的選票基礎,政治容易陷於紛擾不安。

很遺憾的,這些問題都有可能在台灣這次的總統選舉中發生。

以下我用【美麗島電子報】封關民調,2023年12月27-29日實施的第101波追蹤民調來分析這次總統大選可能發生的上述問題。

根據這波民調,總樣本1253位受訪者中,如果現在投票,會支持賴清德的受訪者共496人,佔39.6%;支持侯友宜的受訪者共357人,佔28.5%。支持柯文哲的受訪者共237人,佔18.9%。假設民調忠實反映選舉結果,依當前多數決的選舉方式,賴清德得票最多當選總統。即使考量賴、侯差距的抽樣誤差(4.53%)也是賴清德勝出。

美麗島民調續問「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。從【美麗島電子報】網頁上提供的交叉表可以得知:在支持賴清德的496人中,有346人對這個問題給予了明確的回答。346人當中,最不希望侯友宜當總統的人有177位,最不希望柯文哲當總統的有169位。據此,我們可以推測這346人對三位候選人的偏好順序如下:

  • 賴清德>柯文哲>侯友宜:N=177
  • 賴清德>侯友宜>柯文哲:N=169

在支持侯友宜的357人中,有294人對這個問題給予了明確的回答。294人當中,最不希望賴清德當總統的人有248位,最不希望柯文哲當總統的有46位。據此,我們可以推測這294人對三位候選人的偏好順序如下:

  • 侯友宜>柯文哲>賴清德:N=248
  • 侯友宜>賴清德>柯文哲:N=46

在支持柯文哲的237人中,有182人對這個問題給予了明確的回答。182人當中,最不希望賴清德當總統的人有123位,最不希望侯友宜當總統的有59位。據此,我們可以推測這182人對三位候選人的偏好順序如下:

  • 柯文哲>侯友宜>賴清德:N=123
  • 柯文哲>賴清德>侯友宜:N=59

以上一共有822位受訪者依其對三位候選人的偏好順序分為六個群組。有了這822人的偏好順序,我們可以把三位候選人捉對PK,看看哪位候選人在PK時勝出。

  • 侯友宜PK賴清德:248+46+123=417>177+169+59=405
  • 侯友宜PK柯文哲:248+46+169=463>123+59+177=359
  • 柯文哲PK賴清德:123+59+248=430>177+169+46=392

所以在賴、侯、柯三位候選人中,侯友宜在PK時分別擊敗賴清德及柯文哲,是孔多塞贏家。賴清德在PK時分別敗給侯友宜及柯文哲,是孔多塞輸家!

結論是在這822人的次樣本中,孔多塞贏家侯友宜不會當選,而孔多塞輸家賴清德卻能在多數決選舉方式的庇蔭下以346票(42%)擊敗侯友宜的294票(36%)、柯文哲的182票(22%)而當選台灣總統!

我用【美麗島電子報】2023年12月26-28日實施的第100波追蹤民調分析的結果也是一樣:侯友宜是孔多塞贏家,賴清德是孔多塞輸家。若以更早一波的第99波分析,侯友宜仍是孔多塞贏家,賴清德則以一票之差在PK時倖勝柯文哲,避免成為孔多塞輸家。

不過以上的分析有一個問題:第101波民調中,賴清德的支持者有30.2%無法明確回答「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。相對而言,侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有17.4%、23.3%無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人?我想這是因為藍、白性質相近,對許多綠營選民而言,其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說,藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人,因此指認較無困難。無論如何,把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」總是很不恰當的做法。

補救的辦法是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下,把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果,得到

  • 賴清德PK侯友宜:582.5>507.5
  • 賴清德PK柯文哲:573.5>516.5
  • 侯友宜PK柯文哲:601>489

 則賴清德反過來變成孔多塞贏家,而柯文哲變成孔多塞輸家。這樣的結果,為多數決選制帶來了加持。雖然前面賴清德是孔多塞輸家的結果因很多支持者無法確定侯、柯之間的偏好順序而有所偏差,它至少證實了在一群特定選民之中,多數決贏家不必然是孔多塞贏家,而且可以是孔多塞輸家的可能性。

所謂選舉是「票多的贏,票少的輸」其實不是顯而易見的真理,而只是多數決選舉方式之下的一種結果而已。上述這種候選人之間兩兩PK以絕對多數判定勝負的方法,學術界稱作「孔多塞選舉方式」(Condorcet voting)。我們看到在這種選舉方式之下,選舉的結果可以與多數決迥然不同。不過孔多塞選舉方式並不保證一定會有孔多塞贏家。如果兩兩PK的結果是

  • 賴清德>侯友宜>柯文哲>賴清德

則選舉結果將出現循環多數。最近的美麗島民調雖然沒有呈現循環多數的現象,但稍早的則有。例如2023125-7日的第85波。這個民調的1201位受訪者中,40.5%支持賴蕭配,30.8%支持侯趙配,16.3%支持柯吳配。但若聚焦於明確表達了對三組候選人的偏好順序的802位受訪者,則賴PK侯以50.4%勝出,侯PK柯以58.7%勝出,柯PK賴以50.4%勝出。因此,

  • 賴>侯>柯>賴

正是所謂「投票悖論」(paradox of voting)所指的「循環多數」!這種情形的出現代表選舉結果既沒有孔多塞贏家也沒有孔多塞輸家,三位候選人可說打成平手。

針對多數決選舉方式的潛在問題,有人提出所謂「立即決選」(instant-runoff voting or IRV, aka alternative voting or AV)的選舉方式來取代。IRV要求選民在選票中列出對候選人的偏好順序。如果在多數決之下有候選人得到過半數選票,則宣布其當選。如果沒有候選人得到過半數選票,則宣告得票最低的候選人落選,然後將其所得選票分給第二順位的候選人,重複這過程到有人當選為止。按照這個選舉方式,上例中柯文哲得票最低將率先被宣布落選,其所得182張選票其中123票轉移給侯友宜,59票轉移給賴清德。侯友宜將以294+123=417票對賴清德的346+59=405票勝出當選!

註一:本文使用資料來自【美麗島電子報】第101波追蹤民調

註二:關於多數決選舉方式在美國選舉所產生的問題,有興趣的讀者可以參考William Poundstone, Gaming the Vote: Why Elections Aren’t Fair (and What We Can Do About It),Hill and Wang, 2008。

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