教學機器人 物理學II（電磁學）-1

編著: 夏肇毅

初版: 2026/5/23

1.1 電荷基本概念

電荷是物質基本性質之一，分為正電荷與負電荷。電子帶負電，質子帶正電，單位電荷量$e = 1.602 \times 10^{-19} C$。電荷守恒定律指出孤立系統中總電荷保持不變。電荷可以通過接觸、感應或摩擦方式傳遞。電荷分布在導體與絕緣體中不同，導體內自由電荷能快速重排，而絕緣體電荷固定，這些概念為後續靜電場分析提供基礎。

1.2 庫倫定律

庫倫定律描述兩點電荷間的相互作用力：$F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$，方向沿連線指向或遠離對方。$k_e = 8.987 \times 10^9 , \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$。力為向量，可分解為三個方向分量，適用於多點電荷系統。庫倫定律是靜電學基本定律，廣泛應用於原子模型、分子結構及電氣工程設計。

1.3 電場概念

電場$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$描述電荷在空間中產生的作用力場。對點電荷$\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{r}$，可疊加多個電荷場。電場線表示電場方向與密度，密度高表示場強大。電場概念是電位、電容及導體行為分析的核心工具。|章號:第1章|節號:第3節|

1.4 綜合應用案例

電荷與庫倫定律應用於平行板電容、導體屏蔽及原子間作用力分析。公式範例：平行板電場$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$，能量密度$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$。這些分析在電子學、半導體設計與高壓工程中非常實用。

1.5 電位定義

電位$V$為單位電荷在電場中位置所具有的勢能：$V = \frac{U}{q}$。對點電荷$V = k_e \frac{q}{r}$。電位差$\Delta V$與電場相關：$\Delta V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{l}$。電位概念將矢量電場轉化為標量，便於計算複雜系統的能量與電位分布。

1.6 電容與電容器

電容$C = \frac{Q}{V}$，平行板電容$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}$，能量$U = \frac{1}{2}CV^2$。電容器用於儲能、濾波及電路設計。電容串聯與並聯公式分別為$1/C_{\text{eq}} = \sum 1/C_i$與$C_{\text{eq}} = \sum C_i$。

1.7 高斯定律與電通量

高斯定律$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{包}}}{\varepsilon_0}$連結電場與包圍電荷。選擇對稱面（球、柱、平面）可簡化場計算。電通量$\Phi_E$概念用於電場分析，適用於導體屏蔽、球殼電荷分布及均勻場計算。

1.8 綜合應用案例

電位與電容理論應用於電力系統、電子儀器及半導體元件設計。公式範例：球殼電容$C = 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2-R_1}$。綜合分析電荷分布、電場與電位，提供實際工程與實驗設計依據。