教學機器人 複變函數-1

編著: 夏肇毅

初版: 2026/5/23

1.1 複數定義與運算

複數是形如$z = x + iy$的數，其中$x, y \in \mathbb{R}$，$i^2=-1$。複數可表示為代數形式、三角形式及指數形式：$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$，其中$r =|z|= \sqrt{x^2+y^2}$，$\theta = \arg(z)$為幅角。複數運算包括加法、乘法、除法和取共軛：$z^* = x - iy$，公式：$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$。複數在物理學、電工程及數學分析中廣泛應用，如電路阻抗、傅立葉變換、解析函數理論等，提供對實變函數無法描述的旋轉與縮放操作的精準模型。

1.2 複平面幾何與距離

複平面將複數視為平面上的點$(x,y)$，模長$|z|$表示原點到點的距離。

1.3 複數指數與對數

複指數函數$e^z = e^x(\cos y + i \sin y)$，具有週期性$e^{z+2\pi i} = e^z$。複對數定義為$\ln z = \ln|章號:z|節號:+ i \arg(z)$，多值性因$\arg(z)$的不唯一性產生。公式範例：$\ln(z_1 z_2) = \ln z_1 + \ln z_2 + 2\pi i k$，$k \in \mathbb{Z}$。複指數與對數在解微分方程、解析延拓、傅立葉與拉普拉斯轉換中至關重要，提供將乘法轉換為加法的工具。

1.4 幾何表示與應用

複數的幾何表示可用於旋轉、縮放、投影及映射分析。公式：$z \mapsto az+b$為線性映射，保角且縮放比例$|a|$，旋轉角度$\arg(a)$。應用包括流體力學中的保角變換、電場分析中的複勢函數、工程中的相量表示。透過複平面幾何，解析函數的局部性質和奇點行為可視化，便於理解函數的局部與全局結構。

1.5 解析函數定義

函數$f(z)$在點$z_0$解析若存在導數$f(z_0)$且局部可展成收斂冪級數$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$。公式：$f(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z}$。解析函數具光滑性、可微性及保角性，局部可用泰勒展開表示，是複變函數理論的核心概念，廣泛應用於電磁場、流體力學及量子力學中。

1.6 柯西-黎曼方程

若$f(z) = u(x,y)+iv(x,y)$，解析性等價於柯西-黎曼方程成立：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。此方程是判定函數解析性的必要條件，推導出函數滿足拉普拉斯方程$\nabla^2 u = \nabla^2 v = 0$，即$u$與$v$是調和函數，對物理場和位勢問題分析非常重要。

1.7 調和函數與共軛函數

對解析函數$f(z)$，實部$u(x,y)$與虛部$v(x,y)$均為調和函數，滿足$\nabla^2 u = 0, \nabla^2 v = 0$。$v$是$u$的共軛函數，形成$u+iv=f(z)$。公式：$v(x,y) = \int \frac{\partial u}{\partial y} dx - \frac{\partial u}{\partial x} dy$。此性質在物理中的電位、流體勢函數及熱傳導問題中提供解析解方法。

1.8 解析函數的局部性質

解析函數局部可展開為冪級數，局部保角，若$f(z_0) \neq 0$則局部單射。泰勒級數提供精確近似：$f(z) = f(z_0) + f(z_0)(z-z_0) + \frac{f(z_0)}{2!}(z-z_0)^2 + \dots$。解析函數局部性質可用於級數收斂、奇點分類及函數映射分析，對理論與應用均重要。