「有糖果n顆，一顆糖果有一張糖果紙，蒐集三張糖果紙即可兌換一顆糖果。」 請問要怎麼用n的算式表達最後的結果。 提示：必須分別討論兩種情形。
就從n=1開始想，一個一個算出來，可以找到規律。
一開始，
1顆糖，最後1顆。
2顆糖，最後2顆。
3顆糖，3/3=1，最後3+1=4顆。
4顆糖，4/3=1，最後4+1=5顆。
5顆糖，5/3...2，1+2=3，3/3=1，最後5+1+1=7顆。
6顆糖，6/3，最後6+2=8顆。
7顆糖，7/3...1，2+1=3，3/3=1，最後7+2+1=10顆。
整理一下。
1顆糖，最後1顆。這結果稱之為a1
2顆糖，最後2顆。這結果稱之為a2
3顆糖，最後4顆。這結果稱之為a3
4顆糖，最後5顆。這結果稱之為a4
5顆糖，最後7顆。這結果稱之為a5
6顆糖，最後8顆。這結果稱之為a6
7顆糖，最後10顆。這結果稱之為a7
是可以看出規律的。再找出公式後，用歸納法證明就完成了。
我們可以發現，
a7=a5+3, a5=a3+3,a3=a1+3。
a6=a4+3,a4=a2+3。
都是等差數列。
所以每增加兩顆糖，就會得到增加三顆糖的結果，所以係數是3/2。然後奇數用a1=1的結果代入，偶數用a2=2的結果代入，就得到了公式。
然後，奇數與下一個奇數都是剩下1張糖果紙，偶數與下一個偶數都是剩下2張糖果紙。
3樓. 七柒2017/10/15 10:00補下奇數顆糖果最後會剩下一張糖果紙的證明。
奇數。2N-1,N為正整數。
證明：用數學歸納法 假設奇數顆糖果2N-1，最終剩下一張糖果紙。
當 N = 1，成立。 一顆糖果剩下一張糖果紙。
假設當 N = K 時亦成立，2K-1 ==> 1
因此當 N = K + 1， 2N-1 = 2(K + 1)-1 = 2K-1 +2 ==> 3 ==> ˙3/3=1，剩下一張糖果紙得證。
偶數顆糖果最後會剩下兩張糖果紙的證明。
偶數。2N,N為正整數。
證明：用數學歸納法 假設偶數顆糖果2N，經過交換後，最終剩下兩張糖果紙。
當 N = 1，成立。
假設當 N = K 時亦成立，2K剩下兩張糖果紙， 因此當 N = K + 1， 2N = 2(K + 1) = 2K + 2 ==> 4
4/3=1....1，1+1=2，最後剩下兩張糖果紙得證。
2樓. 時和2017/10/14 05:06漂亮
強
謝謝。也是受到之前分享汽水那篇的啟發。 七柒 於 2017/10/14 05:07回覆-
1樓. 七柒2017/10/14 03:46或許可以再細緻點，奇數用2n+1表示，偶數用2m。這樣歸納法就可以用n=k, n=k+1來做證明了。
