數學女孩系列謎題01五個格子點(解答)(可以點我)   

照樣造題目。平面座標，格子點的定義是(X,Y)的X, Y都是整數，請問要有幾個格子點，才能使得其中的三個格子點組成的三角形的重心必定也是格子點？

準備知識：三角形ABC,  A(X1,Y1),  B(X2,Y2),  C(X3,Y3),則三角形ABC的重心座標為((X1+X2+X3)/3,  (Y1+Y2+Y3)/3)。

類似概念題目：

如果要組成籃球隊，需要五個同樣性別的人，比如說五個男的或五個女的，那最少要有幾個人才一定可以組成一個籃球隊？

類似的題目，有兩種不同的襪子，那最少要任意拿幾隻襪子才必定能湊成一雙？

不過我這題目更稍微複雜點。請小心作答。

先解答類似概念題目。其實都是根據鴿籠原理，有n+1隻鴿子，放進n個鴿籠裡，必定最少有一個鴿籠有兩隻以上的鴿子。

籃球隊需要五個同樣性別的隊員，一般來說，性別只有兩種可能，男的，或女的。我們只需要想想怎樣的狀況不能組成籃球隊，那最多會幾個人。四個男的加四個女的，八個人，的確還是不能組成籃球隊，再加一個，男的，就男的五個可組隊；女的，女的五個可組隊。所以最少只要九個人就一定可以組成隊伍。

襪子這題更清楚，只有兩種襪子，一樣先想不能成雙的狀況，最多能幾隻襪子，兩隻，一種一隻，再加一隻，無論哪種都能成雙。

照樣造題目。平面座標，格子點的定義是(X,Y)的X, Y都是整數，請問要有幾個格子點，才能使得其中的三個格子點組成的三角形的重心必定也是格子點？

準備知識：三角形ABC,  A(X1,Y1),  B(X2,Y2),  C(X3,Y3),則三角形ABC的重心座標為((X1+X2+X3)/3,  (Y1+Y2+Y3)/3)。

我們先將題目解釋得更清晰點。其中的三個格子點組成的三角形的重心必定也是格子點，三角形ABC,  A(X1,Y1),  B(X2,Y2),  C(X3,Y3),則三角形ABC的重心座標為((X1+X2+X3)/3,  (Y1+Y2+Y3)/3)也是格子點。所以(X1+X2+X3)/3為整數,  (Y1+Y2+Y3)/3為整數。即是，(X1+X2+X3)為3的倍數,  (Y1+Y2+Y3)為3的倍數。且X1,X2,X3, Y1,Y2,Y3都是整數。

仿效原始題目，什麼數字相加會是3的倍數呢？三個一樣的數字相加會是3的倍數，1+1+1=3, 2+2+2=3x2。由於條件是3的倍數，所以我們將數字分成三類，3n, 3n+1, 3n+2。三個相同類型相加會是3的倍數。由於有三類而且是平面座標有X跟Y，所以3X3=9, 有九種座標類型，如下：

要有三個一樣的類型，最少需要9+9+1，因為相同的原因，最多不能有三個一樣類型的數目是9+9，之後加上哪一種類型都會有三個一樣的類型。

所以答案是9+9+1=19嗎？不是。因為三個數字相加會是三的倍數還有其他種的可能，  3n, 3n+1, 3n+2,三個相加，會是3X+3，也是三的倍數。

所以多了一個條件，不能同時存在3n, 3n+1, 3n+2，所以最多的不能形成3的倍數的數目是多少呢？我們把九宮格最後一列刪去：

這樣就不會有3n, 3n+1, 3n+2,三個相加，會是3X+3的狀況，再運用最多不能有三個一樣的類型的原則，所以可以乘以2，6X2=12，所以12個格子點是不會形成相加為3的倍數的最大值，12+1=13，13個格子點就是答案。

驗證一下。

這12個格子點無法相加成為3的倍數。

但只要加上9種類型的格子點的任一點，一定會形成相加為3的倍數的情形。

所以當格子點有13個時，就一定會有其中的三個格子點組成的三角形的重心必定也是格子點。