由奇偶數討論起
先假設１：４ａ³＋２ｂ³＝ｃ³　成立　ａｂｃ都是正整數
∵４ａ³＋２ｂ³＝偶數　左式＝右式
∴ｃ³＝偶數

令ｃ＝２ｃ₁
∴４ａ³＋２ｂ³＝８ｃ₁³

∵右式中　４ｃ₁³＝偶數　左式中　２ａ³＝偶數
∴ｂ³＝偶數

令ｂ＝２ｂ₁
∴２ａ³＋８ｂ₁³＝４ｃ₁³
　　ａ³＋４ｂ₁³＝２ｃ₁³
∵右式中　２ｃ₁³＝偶數　左式中　４ｂ₁³＝偶數
∴ａ³＝偶數

令ａ＝２ａ₁
∴８ａ₁³＋４ｂ₁³＝２ｃ₁³
　４ａ₁³＋２ｂ₁³＝　ｃ₁³

同理　我們可以找出ａ₂ｂ₂ｃ₂.......ａ_ｎｂ_ｎｃ_ｎ也都是偶數
故　ａ，ｂ，ｃ只有一種質因數２，也就是說
結論１：ａ，ｂ，ｃ都是２的次方

假設２：ａ＝２^ｘ，ｂ＝２^ｙ，ｃ＝２^ｚ（ｘ，ｙ，ｚ都是正整數）
∴４ａ＋２ｂ＝ｃ　變成
４╳（２^ｘ）＋２╳（２^ｙ）＝（２^ｚ）
２^３ｘ＋２　＋　２^３ｙ＋１　＝２^３ｚ

若上式要成立，則３ｘ＋２必須＝３ｙ＋１
３ｘ＋２＝３ｙ＋１
３（x－y）＝－１
　　x－y　＝－１／３
此與假設２　矛盾
∴假設２　不成立
最後可以推得　假設１不成立。

簡化版

假設４ａ^３＋２ｂ^３＝ｃ^３有正整數解

且最小的正整數解爲（ａ_ｎ，ｂ_ｎ，ｃ_ｎ）
∵ｃ^３＝４ａ^３＋２ｂ^３　　　　　　　　∴ｃ_ｎ必為偶數

∵２ｂ^３＝ｃ^３－４ａ^３爲４的倍數　　∴ｂ_ｎ必為偶數

∵４ａ^３＝ｃ^３－２ｂ^３爲８的倍數　　∴ａ_ｎ必爲偶數．

那麼

必有更小的一組正整數解爲（ｘ／２，ｙ／２，ｚ／２），矛盾．

此與假設不符。

故４ａ^３＋２ｂ^３＝ｃ^３不存在最小的正整數解。

也就是說，４ａ^３＋２ｂ^３＝ｃ^３無正整數解。