CubicPower 晶智能中心基礎學院教材  微積分簡介-1

編著: 夏肇毅

初版: 2026/6/25 

1.1 極限定義

極限是微積分的基礎概念，用來描述當自變數趨近某一值時，函數值的趨勢行為。嚴格定義中，若對任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得當 $0 < \vert x-a \vert < \delta$ 時，有 $\vert f(x)-L \vert < \epsilon$，則稱 $\lim_{x \to a} f(x)=L$。此定義排除了函數在點 $a$ 必須有定義的要求，也允許函數在該點不連續但仍存在極限。極限的核心在於「趨近」而非「取值」。例如 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，即使 $x=0$ 時表達式無意義，但其趨勢仍可確定。極限定義還可延伸至無窮極限與無窮遠極限，例如 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$。在數列情況下，若對任意 $\epsilon>0$，存在 $N$ 使得 $n>N$ 時 $\vert a_n-L \vert < \epsilon$，則稱數列收斂。極限思想也是導數與積分的基礎，因為導數本質為差商極限 $\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。因此極限定義不僅是計算工具，更是整個分析學的邏輯基礎，提供嚴謹描述連續變化的方法。

1.2 左右極限

左右極限用於分析函數在某點附近從不同方向逼近的行為。若 $x$ 從左側趨近 $a$，記為 $\lim_{x \to a^-} f(x)$；若從右側趨近，則為 $\lim_{x \to a^+} f(x)$。當且僅當左右極限相等時，整體極限才存在，即 $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在的充要條件為 $\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)$。例如分段函數 $f(x)=\begin{cases}x^2,&x<1\2x,&x\ge 1="" end="" cases="" x="" 2="" -="" lim_="" to="" a="" f="" span="">

1.3 連續函數

連續性描述函數圖形是否具有「不間斷」性質。若函數在點 $a$ 滿足三條件：$(1)$ $f(a)$ 有定義，$(2)$ $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，$(3)$ $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，則稱函數在 $a$ 連續。若在區間內所有點皆連續，則稱函數在該區間連續。幾何上，連續函數可視為無需抬筆即可畫出的曲線。常見連續函數包括多項式函數、指數函數 $e^x$、三角函數 $\sin x$ 與 $\cos x$。連續性在分析中非常重要，因為許多定理如介值定理與極值定理都建立在連續性之上。例如介值定理指出：若 $f$ 在 $[a,b]$ 連續且 $f(a)\neq f(b)$，則對任意 $L$ 介於兩者之間，存在 $c \in (a,b)$ 使 $f(c)=L$。連續性也保證數值方法的穩定性，例如在數值分析中，若函數不連續，則插值誤差可能劇烈放大。因此連續性不僅是理論性質，也直接影響計算與工程應用的可靠性。

1.4 極限定理

極限定理提供計算極限的重要規則，使複雜極限可拆解為基本運算。若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，則有加法定理 $\lim (f+g)=A+B$，乘法定理 $\lim (fg)=AB$，以及商法則 $\lim \frac{f}{g}=\frac{A}{B}$（當 $B \neq 0$）。此外，複合函數極限亦成立：若 $g(x)\to L$ 且 $f$ 在 $L$ 連續，則 $\lim f(g(x))=f(L)$。這些定理大幅簡化極限計算，例如 $\lim_{x \to 2}(x^2+3x)=4+6=10$。但當出現不定型如 $\frac{0}{0}$ 時，需進一步化簡，例如因式分解或有理化。常見技巧包括洛必達法則（需導數）、泰勒展開與等價無窮小替換。極限定理在工程數學中也用於訊號分析，例如線性系統中輸入輸出的極限行為。透過這些定理，可以將複雜問題轉化為基本運算，建立微積分計算的核心工具架構。