Q:
對任意實數a,b,c,
當a>b時,將(a,b,c)調整為( a-b , b , c-b ) ;
當a<b時,將(a,b,c)調整為( a , b-a , (bc-a^2)/b-a );
當a=b時,維持不變;
我們稱這樣的過程為一次調整.
若(a,b,c)經過幾次調整後可得到(1,1,k), 則 k = ?(用a,b,c表示)
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這題其實嚴謹解法我還沒想出來...
我的方法就是用湊的...XD 反正湊一湊就出來了= =真神奇...
各位有比較"可以寫在紙面上"的解法的話歡迎提出來一起討論^^
答案: 請拖曳反白 bc - ab + 1
5樓. 陳2009/07/29 00:13陳
此題出的漂亮,不過我的解法有點長,簡略如下:第一種連續變換n次有(a,b,c)--->(a-nb,b,c-nb);而第二種變換需變形為(a,b,c)--->(a,b-a,a+(bc-ab)/(b-a)),則第二種連續變換m次有(a,b,c)--->(a,b-ma,a+(bc-ab)/(b-ma)),注意此式意義為:(a,b,c)由第二種連續變換m次具有(p,q,p+(bc-ab)/q),接著就不難驗證當(a,b,c)由第一種連續變換再經第二種連續變換(次序對調皆無妨),皆可具有(a,b,c)--->(p,q,p+(bc-ab)/q)之形式,而當最後變換成(1,1,k)時,表示最後依次變換時為p=q=1,故此時k=1+bc-ab,特別地,針對二種情形分開討論:若a=1,b>a時,則(a,b,c)--->(1,1,1+bc-b),此時k=1+bc-b(亦符合k=1+bc-ab);若b=1,a>b時,則(a,b,c)--->(1,1,c-a+1),此時k=c-a+1(亦符合k=1+bc-ab),故k恆為1+bc-ab.
我不得不佩服此題構思巧妙,上述解法詳細寫會有點長,不過應該可以理解,而能出現(1,1,k)時須a,b為互質的正整數,這部份則討論a,b為有理數,無理數即可得証.
在互質正整數a,b的這種情形下,可由輾轉相除法原理得知最後必可出現(1,1,k)!!
嗯...其實彬哥你的解法跟我之前的差不多...
不過我沒有像你降明確找出
當(a,b,c)由第一種連續變換再經第二種連續變換(次序對調皆無妨),皆可具有(a,b,c)--->(p,q,p+(bc-ab)/q)之形式
不過我的確是有看出他們這種的規律...然後在湊出來QQ
都都 於 2009/07/29 09:24回覆-
4樓. 陳2009/07/28 22:03陳
其實可以調成(1,1,k),則一開始必須a,b為互質正整數才行.嗯嗯的確
都都 於 2009/07/29 09:17回覆 
3樓. 時和2009/07/28 14:12所以說
為何要出一個定義域過大的題目？
取 a, b, c in C(複數) 不是更扯嗎？
只是想問：a, b, c in Z or Q or R or C 在不同領域是否有不同解法？不同答案？
假如解法相同，那搞那麼複雜又為何？
恩...
也對耶......原來時何先生是這個意思^^
不過題目的確是降沒錯...
我覺得可以看成(我是降看啦XD|||...)
在"若(a,b,c)經過幾次調整後可得到(1,1,k), 則 k = ?(用a,b,c表示)"之前可以看成這個調整的定義
而最後那句則是把所要求的拉出來問,有點像是特例的感覺...
都都 於 2009/07/28 16:20回覆-
2樓. 時和2009/07/28 12:42(0.1， 0.2， 0.3)
怎能調到 (1， 1， k)？
不是每組(a,b,c)都可以調到(1,1,k)的^^ 都都 於 2009/07/28 12:51回覆 -
1樓. 時和2009/07/28 10:49是正整數?
對任意實數a,b,c, (Or, 是正整數?)
當a>b時,將(a,b,c)調整為( a-b , b , c-b ) ;
當a<b時,將(a,b,c)調整為( a , b-a , (bc-a^2)/b-a );
當a=b時,維持不變;
我們稱這樣的過程為一次調整.
若(a,b,c)經過幾次調整後可得到(1,1,k), 則 k = ?(用a,b,c表示) (所以 a 和 b 是互質？)
