國小簡單謎題(一起玩)

a為首項，r為公差，n為項數

(6)等差級數和為奇數時的推導

n=3,3(a+r)

n=4,2(2a+3r)

n=5,5(a+2r)

n=6,3(2a+5r)

n=7,7(a+3r)

偶數自成一個規律，奇數另成一個規律。

n=4,2(2a+3r)

n=6,3(2a+5r)

n=8,4(2a+7r)

n=3,3(a+r)

n=5,5(a+2r)

n=7,7(a+3r)

當n為偶數設為2k,其等差級數和的通式為k(2a+(2k-1)r)。

當n為奇數設為2k+1,其等差級數和的通式為(2k+1)(a+kr)。

以下用數學歸納法證明

(1)

n為偶數的情況，證明當n為偶數設為2k,其等差級數和的通式為k(2a+(2k-1)r)。

由於設定n>=3, 所以由n=4開始, k=2

n=4,2(2a+3r) 命題成立。

若n為偶數設為2k,其等差級數和的通式為k(2a+(2k-1)r)。 

當n=2(k+1),其等差級數和為(a+a+(2k+1)r)x2(k+1)/2=(k+1)(2a+(2k+1)r)

等同通式以n=2(k+1)代入的情形。

故得證。

(2)

n為奇數的情況，證明當n為奇數設為2k+1,其等差級數和的通式為(2k+1)(a+kr)。

由於設定n>=3, 所以由n=3開始, k=1

n=3,3(a+r) 命題成立。

若n為奇數設為2k+1,其等差級數和的通式為(2k+1)(a+kr)。 

當n=2(k+1)+1,其等差級數和為(a+a+(2k+2)r)x(2(k+1)+1)/2=(2k+3)(a+(k+1)r)

等同通式以n=2(k+1)+1代入的情形。

故得證。