怎樣解題，G. 波利亞著－書摘 - 正是乘除加減，上有蒼穹

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怎樣解題，G. 波利亞著－書摘

2012/06/24 18:18

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引用1

讀後感想：「如聽仙樂耳暫明」。讀來真是暢快淋漓，絕無冷場，讓我收獲良多。

怎樣解題 How To Solve It

作者：波利亞

原文作者：G. Polya

譯者：蔡坤憲

出版社：天下文化

出版日期：2006年06月26日

內容簡介　　

任何領域的每一個人，都必須學會怎樣解題。　　

本書作者波利亞，是數學教育史上極重要的數學教育家，《怎樣解題》可說是流傳最廣、影響最深遠的代表作，自出版以來，已經影響了一代又一代的讀者。　　

在書中，波利亞提出了解題的四大步驟，並且穿插了範例，你可以跟著波利亞的腳步，學會如何從推理與提問，直搗證明題或求解題的核心，而這樣的數學方法，對解決任何問題都有幫助。　　

熟讀《怎樣解題》，你就能成為思考、分析、解題的頂尖高手。

作者簡介

波利亞（G. Polya）　　

1887年生於匈牙利布達佩斯，父母為猶太人。求學時期攻讀哲學、物理、數學，在布達佩斯大學取得數學博士學位。　　

第一次世界大戰期間，波利亞在蘇黎士的瑞士聯邦理工學院（ETH）擔任教職，於1928年升為正教授。1933年曾前往美國普林斯頓大學訪問。　　

1940年，由於歐陸政治情勢，被迫移民美國，1943年起獲聘為史丹福大學的教授，直到1953年榮譽退休。退休後，波利亞仍十分忙碌，除了繼續在史丹福授課，更熱心數學教育，致力研究數學問題的解題策略。　　

波利亞是二十世紀極重要的數學家、數學教育家。在純數學領域，他與Gabor Szego合寫了《分析中的問題與定理》（Problems and Theorems in Analysis）這部傑作；在數學學習及教學方面，除了《怎樣解題》，還陸續出版了《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning，共兩卷）與《數學的發現》（Mathematical Discovery，共兩卷）。

譯者簡介　

蔡坤憲　　

東海大學物理系畢業，國立交通大學電子物理所碩士，曾在中學服務三年，任教國中理化與高中物理等科目。目前在紐西蘭懷卡托大學（University of Waikato）科學與科技教育研究中心，攻讀科學教育博士學位，研究領域為科學教育、物理教學、師資培育與教育多媒體設計；也在懷大物理系兼任助教的工作。劍道是主要的課餘興趣。　　

譯有《觀念物理II：轉動力學、萬有引力》、《怎樣解題》，著有《觀念物理VI：習題解答》（皆為天下文化出版）。

書摘：

XII 怎樣解題表

"怎樣解題"表

第一：你必須弄清問題

弄清問題

未知數是什麼？已知數據是什麼？條件是什麼？滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多餘的？或者是矛盾的？

畫張圖。引入適當的符號。

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二：找出已知數與未知數之間的聯繫。如果找不出直接的聯繫，你可能不得不考慮輔助問題。你應該最終得出一個求解的計畫。

擬定計畫

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

這裡有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分，這樣對於未知數能確定到什麼程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適於確定未知數的其他數據？如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三：實行你的計畫

實現計畫

實現你的求解計畫，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？

第四：驗算所得到的解。

回顧

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能一下子看出它來？

你能不能把這結果或方法用於其他的問題？

應用：一般的謎題大致上只要弄清問題就夠了。

弄清問題

畫張圖。引入適當的符號。

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

以下是網友問我的謎題：

ＡＢ村莊中間有一條大河，河的裡面有食人魚，有河當然也有橋，也是唯一的路徑，但是在這條橋上，有個守衛兵，他日日夜夜站在橋中央舉著槍睡覺，厲害的是，當有人靠近他時，他就會醒來將那人趕回去，如果是搭船過去的，他就會用槍射擊上頭的人，另外橋下是封閉的，不可能從橋下過去，假如你真的想要從Ａ村到Ｂ村，請問該怎麼做？

我講一下我怎樣運用"怎樣解題"的方法來解這道題目。

這道題目，未知數和已知數據都很清楚。重點在"條件"是什麼？

條件A：ＡＢ村莊中間有一條大河，河的裡面有食人魚，有河當然也有橋，也是唯一的路徑

條件B：這條橋上，有個守衛兵，他日日夜夜站在橋中央舉著槍睡覺，當有人靠近他時，他就會醒來將那人趕回去

條件C：如果是搭船過去的，他就會用槍射擊上頭的人

條件D：橋下是封閉的，不可能從橋下過去

條件A跟D只是限制通往另一個村子的方法，可以忽略不計。我一開始根據這兩個條件，做出「搭飛機」的答案，雖然合理，可是明顯不是正確答案，機智問題不會這麼無趣的。

條件C，似乎也沒有漏洞可鑽，機智問題，答題技巧必須是聰明的。

條件B，很有問題，因為只有將那人趕回去，不像條件C是射殺，可以試著想想看。

於是我根據條件B做出，要從A村到B村的人，在衛兵醒來時，說自己是要到A村，就會被趕回B村了。

答案很接近了。網友說。不過不用說話。

於是我進一步思考，不用說話就會讓衛兵認為我是要到A村的方法是？叮咚，倒著走！賓果。答案就是倒著走路，讓衛兵以為我要到A村，就會將我趕回B村。

這就是，"怎樣解題"的應用，雖然只是使用了「條件」的思考。

p.1 合理的工作

教師最重要的任務之一是幫助學生。(鷹架理論)這個任務很不簡單，它需要時間、實踐、熱忱以及健全合理的原則。

學生應當有儘可能多的獨立工作經驗。(建構主義)但是如果讓他獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠，那麼他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多，那麼學生卻又無事可幹，教師對學生的幫助應當不多不少，恰使學生有一份合理的工作。

p.5 弄清問題

回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的。去做一件你不願幹的事是可悲的。在校內外，這樣愚蠢和可悲的事情卻經常發生，但教師應力求防止在他的班級裡發生這樣的事情。學生應當弄清問題，然而他不僅應當弄清它，更應該渴望解出它。如果學生對問題沒弄清楚或者不感興趣，這並不是他的過錯，問題應該精選，所選的題目不能太難也不能太容易，應該順乎自然而且趣味盎然，並且有時在敘述方式上也應該自然而有趣。

敘述方式很重要，這就是為什麼益智問答會比一般教科書題目有趣的原因，好的教科書應該要像益智問答。像芬蘭教分數，用國旗來教，就很有趣，很有創意。

p.6 對話

應用"怎樣解題"表。

「未知數是什麼？」

「長方體對角線的長度。」

「已知數是什麼？」

「長方體的長、寬、高。」

「引入適當的符號，用哪個字母表示未知數？」

「x.」

「長、寬、高應選哪些字母？」

「a, b, c.」

「聯繫a, b, c 與x的條件是什麼？」

「x是長方體的對角線，長方體的長、寬、高是a, b, c.」

「這是個合理的問題嗎？我的意思是說，條件是否充分，足以確定未知數？」

「是的，是充分的。如果我們知道a, b, c, 我們就知道平行六面體，如果平行六面體被確定，則對角線也被確定了。」

p.14 回顧

長方體的對角線的長度＝√(a^2+b^2+c^2)

檢驗結果。

你是否使用了所有的數據？是否所有數據a, b, c 都在你的對角線公式中出現？

長、寬、高在我們的問題中起的作用是一樣的，我們的問題對a, b, c 來說是對稱的。你所得的公式對a, b, c 對稱嗎？當a, ,b, c 互換時公式是否保持不變？

我們的問題是一個立體幾何問題：給定尺寸a, b, c, 求平行六面體的對角線。我們的問體與平面幾何的問題類似：給定尺寸a, b, 求矩形的對角線，這裡立體幾何問題的結果是否與平面幾何的結果類似？

如果高 c 減小，並且最後等於零，這時平行六面體變成平行四邊形。在你的公式中，令 c=0，是否得到矩形對角線的正確公式？

如果高 c 增加，則對角線也增加。你的公式是否表明這點？

如果平行六面體的三個量度 a, b, c, 按同一比例增加，則對角線也按同一比例增加。在你的公式中，如果將 a, b, c, 分別以 12a, 12b, 12c, 代入，則對角線也將乘以12，是否正確？

如果 a, b, c, 的單位是公尺，則你的公式給出的對角線的單位也應該是公尺；如果將所有單位改為公分，則公式應該保持正確，是否如此？(量綱檢驗)

上述一些問題有幾個好處。首先，公式通過這麼多的檢驗，這一事實不能不使一個聰明的學生產生深刻的印象。學生以前就相信公式是正確的，因為公式是他仔細推導出來的。但是現在經過這麼多的檢驗，他就更加深信無疑了，這種信心的增加來源於一種「實驗的數據」。正是由於上述問題，公式的細節獲得了新的意義，而且和不同的事實聯繫起來。這樣，公式就更容易記住，學生的知識得以鞏固。最後，上述問題很容易轉變成類似的題目，對於類似題目獲得一些經驗以後，聰明的學生就能覺察出所包含的普遍概念：即，利用所有有關數據，改變數據，對稱，類比。如果他養成了把注意力集中在這些地方的習慣，他的解題能力肯定會提高。

p.47 亞里斯多德

亞里斯多德對「靈感」所做的定義如下：「靈感就是在微不足道的時間裡，通過猜測而抓住事物本質的聯繫。」例如：「如果你看見一個人以某種方式和一個富翁談話，你可能立刻猜想此人正在設法借錢。又如，觀察到月亮發光的一邊總是朝著太陽，你可能突然想到為什麼會這樣：這是因為月亮是由太陽光照亮的。」

第一個例子並不壞，但太庸俗了，也不需多加思考。第二個例子卻給人深刻的印象，如果我們發揮一點想像力，設想當時的時空背景。

我們應該知道，在亞里斯多德的時代，因為沒有鐘錶，如果他們想知道時間，必須觀察太陽和星星；因為沒有路燈，如果他計畫在夜間旅行，他必須觀察月亮的月相。他比現代人更熟悉天空，並且他天生的智慧並未被當時的天文學理論報刊等出版物所蒙蔽。那時，人們將月亮看成是一個圓盤，和太陽這個圓盤相類似，但月亮比較黯淡。亞里斯多德一定曾經想過為什麼月亮的形狀和位置總是在變化。他偶然也在白天觀察過太陽，大約是在日落或日出的時候，發現那時候「月亮發亮的一邊總是朝著太陽」。這本身就是一個令人欽佩的成就。於是，現在她看出月亮變化著的外表好像一個從一側照亮的球，所以它一半亮，另一半黑。於是，亞里斯多德不再把太陽和月亮當成圓盤，而把它們視為球狀。一個發光，一個受光。它理解到本質的聯繫，他「在微不足道的時間裡」突然改變了他以前的概念：想像力有了一個突然的跳躍，產生了一個好念頭，這是天才的一次閃耀。

p.48 例子，特殊化。精采。

一個底為正方形的稜臺，下底邊長為a，上底邊長為b，高為h，則其體積為

(a^2+ab+b^2)h/3

檢驗。

可以用「特殊化」的方法檢驗結果。

若a=b，則稜臺成為稜柱，公式成為(a^2)h，檢驗結果正確。

若b=0，則稜臺成為角錐體，公式成為(a^2)h/3，檢驗結果正確。

特殊化的檢驗結果顯示：公式是正確的。

稜臺公式證明：

底邊為 a 的角錐體體積，設為X

底邊為 b 的角錐體體積，設為Y

稜臺體積等於X-Y

p.50 圓錐側面積公式＝？

圓錐側面積公式及證明

假設圓錐底半徑為r 高為h

側面積等於πr√r^2+h^2

現在我來解說一下側面積的部份如何計算!!

當你把側面積拆開後，你會發覺它是一個扇形

我們假設其半徑為R，則R=√(r^2+h^2)

此扇形的弧長剛好是底部的圓的圓周長

我們假設弧長為S，則S=2πr

在高中裡面應該有教過，扇形的面積公式=(1/2)*R*S

（註：圓形面積=2πR^2，圓周長2πR，弧長為S與圓周長的比值為S/2πR。

扇形面積為圓形面積乘以弧長與圓周長的比值，2πR^2乘以S/2πR＝(1/2)*R*S)

所以此側面積 = (1/2)*R*S = (1/2)*[√(r^2+h^2)]*2πr =πr√(r^2+h^2)

p.54 正八面體？

想了一會，才想到是上下兩個金字塔。

p.67 字謎

一個機器中的向前與向後的零件(Forward and backward part of a machine)，猜一個英文單字，有五個字母。

條件是什麼？這個字有五個字母。它與某種機器的某零件關。

這條件對於確定此未知數是否充分？不，或者不如說，這條件可能是充分的，但是現在已經很清楚那部分條件肯定是不充分的，因為滿足它的字太多了。如，lever(操縱桿)，screw(螺釘)等等。

此條件表達得含糊不清－－當然是故意的。如果找不到什麼東西可以似乎令人可信地描述為機器的「向前零件」，同樣也找不到「向後零件」，我可以猜測它可能只的是－－向前和向後閱讀。研究字謎時暗示的這種解釋也許是個好念頭。

把條件的各個部分分開。此條件有兩個部分，一與字的意義有關，另一個與拼法有關。

對未知字的要求是：

(1)是一個短字，它的涵意是某種機器的某個零件。

(2)是一個有五個字母的字，它倒過來拼時還成為一個字，它的意思是某個機器的某個部分。

如果我們僅保留條件的一部分而捨去其他部分，未知字就無法完全確定。有許多字滿足條件(1)，我們可以試著想想有哪些字。跟蹤(1)的軌跡，直到它和條件(2)的交集。

我們可能想到一些字：lever(操縱桿)，screw(螺釘)，wheel(輪子)，shaft(軸)，hinge(鉸鍊)，rotor(發電機的轉子)。

答案當然是rotor。

p.70 消去專業術語

例子：已知拋物線的焦點和準線以及一直線，求做此拋物線與已知直線的焦點。

如果我們對拋物線、焦點、準線索之甚少，那麼這些專業術語不免令人望而生畏，我們自然想擺脫它們。怎樣擺脫它們呢？請看下面教師與學生關於這個話題的一段對話。他們選取了適當的記號：P為任何未知焦點，F為焦點，d為準線，c為與拋物線相交的直線。

「那麼，未知是什麼？」

「點P。』

「已知是什麼？」

「直線c與d，與點F。」

「條件是什麼？」

「P是直線c和拋物線的焦點，拋物線的準線為d，焦點為F。」

「對。我知道你對拋物線瞭解不多。但我想你能夠說出拋物線是什麼？」

「拋物線是與焦點和準線距離相等的點的軌跡。」

「對。這定義你記得很清楚。那很好，我們需利用它。回到定義去。根據拋物線的定義，關於點P你有什麼可說的嘛？」

「P在拋物線上。因此，P和d與F的距離相等。」

「好，畫張圖。」

學生在圖17上引入線PF與PQ，後者是P 點像d所做垂線。

「現在，你能重新敘述這個問題嗎？」

「………」

「利用剛才引入的線，你能重新敘述這個問題條件嗎？」

「P是線c上使PF=PQ的點。」

「好，請用文字說明：PQ是什麼？」

「P到d的垂直距離。」

「好，現在你能重新敘述這個問題嗎？請用明確又簡潔的句子加以敘述。」

「在已知直線c上做點P，使它和已知點F及已知直線d等距離。」

「看看從原來的說法到現在你的說法之間有多大的進步吧！對這問題，原來的說法充滿了不熟悉的專業術語，拋物線呀，焦點呀，準線呀；聽起來未免有點裝腔作勢和趾高氣揚，而現在一點兒也沒有那些不熟悉的專業術語了。你已經使這個問題簡練了。幹得好！」

消去專業術語。上面例子的工作結果就是消去了專業術語。我們從一個包含某些專業術語（拋物線、焦點、準線）的問題的陳述開始，最終找到了沒有這些術語的陳述。

p.75 決心

認為解題純粹是一種智能活動是錯誤的！決心與情緒所起的作用很重要，半心半意和懶洋洋地去做一件事情，對於在教室中做代公式題可能是夠了。但是，去求解一個重大的科學問題需要堅強的意志，才能成年累月地含辛茹苦和百折不撓。

(1)決心隨著希望與失望，稱心與挫折而擺盪。當我們認為解答就在眼前時，決心容易維持；當我們陷入困境，無計可施時，決心就很難保持下去了。當我們的推測成為現實時，我們歡欣鼓舞。當我們以某種信心所遵循的道路突然受阻時，我們又不免垂頭喪氣，我們的決心也隨之動搖了。

「你能無望而受命，百折而不撓。」這才稱得上是意志堅強，受人尊敬和信守職責，才是一個具有崇高目標的高上的人，然而這類決心對於科學家大可不必，科學家應當抱有有些希望才開始工作，並且應當有某種成功的可能才繼續幹下去。在科學工作中，決心的大小必須靈活地根據前景而定。除分你對一個問題有一些興趣，你才去著手解答它；如果這問題看來有指導意義，那麼你就定下心來認真去做；如果它很有搞頭，你就全力以赴。一旦你的目標已定，你就要鍥而不捨，但你的目標對你自己來說不可過高。你不要輕視為小的成功，相反的，你要追求它們：如果你不能解決所提的問題，首先嘗試解決某個有關的問題。

教學生解題是意志的教育。當學生求解那些對他來說並不太容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了讚賞微小的進展，學會了等待主要的念頭，學會了當主要念頭出現後全力以赴。如果學生在學校裡沒有機會嚐盡為求解而奮鬥的喜怒哀樂，那麼他的數學教育就在最重要的地方失敗了。

鍥　　部首　金　部首外筆畫　9　總筆畫　17

注音一式　ㄑ｜ㄝˋ


		刻。荀子˙勸學：「鍥而不舍，金石可鏤。」
		砍斷。戰國策˙宋策：「鍥朝涉之脛而國人大駭。」

p.82 字謎(1)

p.85,114 帕普斯，探索法

帕普斯有一句簡短卻有點莫測高深的話：「設欲為之者如以為之。」(Assume what is required to be done as already done.)

帕普斯是生活在公元300年左右的希臘數學家。在他的文集第七冊中，他提到了他稱之為"analyomenos"的一個學科分支。我們可以把這一個詞翻譯為「分析寶庫」或「解題藝術」或是「探索法」，「探索法」在這裡似乎更可取。下面是他原文的意譯：

所謂探索法，簡言之，是一種學說的特殊部分，供那些學過普通幾何原理，渴望獲得求解數學問題能力的人使用，而且它也僅僅對此有用。它是下列三個人的工作：幾何原本的作者即歐幾理得、波爾加的阿波羅紐斯和阿里斯陶斯長老。探索法教的是分析與綜合的程序。

在分析中，我們從需要求解或求證的內容開始，我們假定它成立，由此得到結果，再從這結果得到另一個結果，直到我們達到可作為綜合的起點的這一點為止，也就是最初的條件。因為在分析中，我們假定把需要去做的當做已經做好的(把要求尋找的當做已經找到的；把需要求證的當做已經成立的)。我們問根據什麼前提可以導出所需要的結果，然後我們又問這個前提的前提可能是什麼，一直推衍下去。這樣從前提過渡到前提，直到最終我們遇到某個事物是已知的，或被認為是成立的。這樣的過程稱為「分析」，或「倒退求解」，亦即「回歸論證」。

但在綜合中，此過程相反，我們從分析中最後達到的一點開始，即從已知的或被認為成立的事物開始。從它導出在分析中位於它之前的一項，並繼續推衍，沿著個步驟逆向而行，直到最終成功地達到我們所需求的解惑求證的內容為止。上述過程稱為「綜合」，或「構造性求解」，亦即「前進論證」。

p.95 物理 v.s. 數學

我們在數學中可以像物理科學中那樣，利用觀察與歸納去發現普遍規律。但兩者還是有所區別。在物理科學中，比觀察和歸納更高的權威並不存在，但在數學中卻有這樣一個權威－－嚴格的證明。

p.99 發明家的矛盾

雄心大的計畫，成功的希望也較大。

這看起來矛盾。但當從一個問題過渡到另一個，我們常常看到，新的雄心大的問題比原問題更容易掌握。較多的問題可能比恰好只有一個問題更容易回答，較複雜的定理可能更容易證明，較普遍的問題可能更容易解決。

雄心大的計畫可能有更多的成功機會，如果它不是僅僅根據浮誇，而是立足於看到某些表面以外的東西。

p.100 拉丁格言看著未知數。這是句老生常談式的忠告，其相應的拉丁格言是：respice finem.即，看著終點。記住你的目的。勿忘你的目標。想著你希望得到的東西。不要看不見你所需要的。記住你為什麼而工作。看著未知數。看著結論。這是「看著終點」的兩種不同說法。它們特別適合於數學問題，分別適用於「求解題」和「求證題」。

p.126 數學的發現

作者的另一本書。圖書館有，改天借來看看。

p.127 Einfall

趨向解答的進展是什麼？進一步動員與組織我們的知識，改進我們對問題的理解，增加我們對建構最終論證的步驟的預見性，這些都是進展。我們可能以難以覺察的小碎步緩慢前進，但有時卻又飛騰跳躍、突飛猛進。像求解的突然進展稱為「好念頭」、「妙主意」、「巧想法」、「靈機一動」。（在德語中還有一個更技術性的詞彙，叫Einfall(點子)。)

什麼叫好念頭？是我們觀點上一次重大突破，我們看問題的方式的一個驟然變動，在解題步驟方面一個剛剛露頭的有信心預感。

p.108 書中找書

本書作者對下述幾位現代作者謹致以謝意。

物理學家間哲學家馬赫(Ernst Mach)

數學家哈達馬(Jacques Hadamard)

心理學家杰姆斯(William James)

克勒(Wolfgang Kohler)

心理學家鄧克爾(K. Duncker)

數學家克勞斯(F. Krauss)

有機會找來看看。

p.123 忽略

我們估量一下現成可用的有關資料，如果必要的話，我們再去收集一些，但最終我們必定要停止收集，我們必會在某處劃地為界，不再越雷池一步，我們不能不忽略某些東西；正式：「若要航行無險，除非永不下海。」常常存在著大量的過剩數據，這些過剩數據對解答的最終形式其實並無明顯影響。

p.129 字謎(2)

p.131 謎題。精采。

歸謬法。

在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數字中，每個都要用一次且只允許用一次，寫出幾個數字使得其總和為100。

僅僅保持條件的一部分，捨去其餘部分。單獨第一部分容易滿足，例如：

19,28,37,46,50

但其和為180，而不是100。

再試試。

19+28+30+7+6+5+4=99

條件的第一部分滿足，第二部分差一點滿足。

如果我們捨去條件的第一部分，則很容易滿足第二部分：

19+28+31+7+6+5+4-100

但這不滿足條件的第一部分；數字1出現了兩次，0卻沒出現。

試試，再試試。

然而，在幾次試驗都不成功之後，我們可能產生了懷疑：按照所要求的方式是否不可能得到100？終於湧現了下述問題：證明所提條件的兩個部分不能同時滿足。

證明：

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

10t+(45-t)=100

t 不為整數，所以此題無解。

p.134 間接證明的反對意見

找出一個並非顯而易見的證明是一個值得重視的智力成就，但學習這樣一個證明，甚或去徹底瞭解它也要耗費一定的腦汁。不言而喻，我們希望從我們所花費的精力上得到某些好處，而且希望我們保存在記憶中的東西是真實且正確的，並非虛假或荒誕不經的。

可是，從「歸謬法」得到某些正確的東西看來並非易事。這個做法是從一個虛假的假設出發，導出某些具有同樣程度、或更明顯的錯誤結果，直到達到最後一個顯而易見的錯誤為止。如果我們不希望在記憶中保存謬誤，我們應當儘快地忘記每一件事，但這是行不通的，因為在我們研究證明的過程中，所有各點都必須鮮明而正確地記在心頭。

p.136 重新安排。有趣。

(1)在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數字中，每個都要用一次且只允許用一次，寫出幾個數字使得其總和為100。

依照要求可以推導出這組數字之和具有下列形式：

10t+(45-t)=9(t+5)

這樣，此和數可被9除盡。然而，所提的謎語卻要求此和數為100。這是不可能的，因為100不能被9除盡。

(2)我們說質數序列永不終止，其含意是什麼？顯然，就是以下這點：若我們已經確定任何一組有限的質數集合，如2,3,5,7,11,....,P，其中P是迄今所找到的最後一個質數，則總還有另一個質數存在，為了證明質數有無窮多，我們必須找到一個發現新質數的方法，這個質數不同於迄今所找到的所有質數。於是，我們的「求證題」就化成一個「求解題」，給定質數2,3,5,7,11,....,P，求一個新質數N與所有給定的質數不同。

既然已經用這種新形式重新敘述了我們原來的問題，我們就已經跨出關鍵的一步。現在就比較容易看出怎樣把我們上述論證用於新目的。事實上，某數Q

Q=(2x3x5x7x11x....xP)+1

肯定可被一質數除盡，讓我們取Q的任何質數除數(例如最小的一個)為N。顯然Q除以質數2,3,5,7,11,....,P中的任何一個都會剩下餘數1，因此，這些數中的任何一個都不會是N，即不會是Q的除數。這樣，我們就找到一個新的質數N了。

作者證明了歸謬法（間接證明）一樣能得到某些正確而且有意義的東西。

p.138 代公式問題

代公式問題是指只需代公式就能得到答案的問題，不需再多加思考。

在數學教學中，代公式問題，甚至許多代公式問題是必要的，但若使學生沒有其他類型的問題可做，則是不可原諒的。

只教授代公式數學演算這種刻板作業而不教授其他內容，這比食譜還不如，因為廚房做菜，畢竟還給了炊事員想像力和判斷力發揮的空間，然而食譜式的數學卻不然。

只教代公式的數學，會扼殺了學生對數學的興趣，那實在太無聊了。

p.142 謎題

已知一直線方程式及一點的座標，求一點與已知點對稱於已知直線。

這是一個平面幾何問題。

未知是什麼？一點，其座標設為(p,q)

已知是什麼？一直線方程式，設為y=mx+n；一點，其座標設為(a,b)

條件是什麼？點(a,b)與(p,q)，彼此對稱於直線y=mx+n。

我們現在遇上了基本的困難，即把條件分為幾部分，而每一部分都可以用解析幾何的語言表達出來。我們對困難的性質必須有很好的理解。把條件分成各部分的某種分解法，在邏輯上可能是無懈可擊的，但卻是於事無補。我們這裡所需要的分解是適合解析表達式的分解。為了找出這樣的分解，我們必須回到對稱的定義去，但我們同時要留意解析幾何這個寶庫。對於直線對稱，這意思是什麼？什麼樣的幾何關係可以在解析幾何中表達得很簡單？我們集中力量在第一個問題上，但我們也不應該忘記第二個問題。這樣，最終我們可能找到下面將要陳述的分解方法。

已知點－(a,b)

與所求點－(p,q)

如此相連結，使得(1)連結它們的線垂直於已知直線。(2)此連結線的中點在已知直線上。

(1)兩線垂直，其斜率乘積為-1。(q-b)/(p-a)=-1/m

(2)兩點的中點的座標為兩點相加除以2。(b+q)/2=m((a+p)/2)+n

解聯立方程式。

P.143 進展的標誌

當哥倫布與夥伴共渡一個未知的大洋時，每當他們看見鳥就歡呼。他們把鳥看成是接近陸地的有利標記。但他們屢次失望。或許，漂浮的海草或低垂的雲層可能指示陸地，但他們又失望了。然而，有一天，標誌變得越來越多。在1492年10月11日星期四，"他們看見了一種名叫磯鷂(Sandpiper)的鳥，和船邊的綠色蘆葦，以及越來越多的標誌。實際上，他們在第二天就看了"新大陸"的第一個島嶼。

p.144 謎題

解答問題一樣有顯示能解出題目的標誌。比如：將三角形面積以其三邊a,b,c表示。

然後，我們算出的答案有。

我們有充分的理由感到振奮，為什麼呢？

事實上，必須考慮到三角形的任何二邊之和大於第三邊。已知長度a,b,c不能是完全任意的。例如b+c要大於a。這是條件的一個必要部分，我們應該利用整個條件。如果b+c不大於a。

那麼，就會是虛數了。

因此，我算出帶有開根號的公式和計算面積的真正公式具有同樣的重要性質，所以它可能是成立的。

已知三角形的三邊長，以「海龍公式」求三角形的面積
已知三角形ABC的三邊長各為a、b、c
則面積為

證明：
作BC邊上的高h，令BD=x
則h²=c²-x²=b²-(a-x)²
c²-x²=b²-(a-x)²=b²-(a²-2ax+x²)=b²-a²+2ax-x²

代回h²=c²-x²

∴
面積=

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例：已知△ABC的三邊長為3、4、5，求△ABC的面積。
解一：
此三角形為直角△，兩底3、4，故面積=3×4÷2=6
解二：令P=(3+4+5)÷2=6
故面積=