底下是一題三元輪換對稱式的因式分解

（X+Y+Z）³-（Y+Z-X）³-（X+Z-Y）³-（X+Y- Z）³的因式分解．

或許對不少人來說，可能會對輪換對稱式是什麼東西感到困惑．

因為數學課程簡化的結果，很多特別的數學題目，觀念和技巧都慢慢失傳中

所以我才發了這篇文章．

如果這題不用待定係數法來算的話，過程就如同下面的算式一樣．

落落長～

如果用待定係數法，過程就簡短多了

假設f(X,Y,Z)=（X+Y+Z）³-（Y+Z-X）³-（X+Z-Y）³-（X+Y- Z）³＝ＫＸＹＺ

令Ｘ＝１，Ｙ＝１，Ｚ＝１代入，

f(1,1,1)=（1+1+1）³-（1+1-1）³-（1+1-1）³-（1+1- 1）³=27-1-1-1=24=k×1×1×1=k

所以（X+Y+Z）³-（Y+Z-X）³-（X+Z-Y）³-（X+Y- Z）³＝２４ＸＹＺ

原理解說：

待定係數法(在台灣因為課程簡化的關係,幾乎快失傳了....)

令f(X,Y,Z)=（X+Y+Z）³-（Y+Z-X）³-（X+Z-Y）³-（X+Y- Z）³

發現f(0,Y,Z)=（0+Y+Z）³-（Y+Z-0）³-（0+Z-Y）³-（0+Y- Z）³=0

表示f(X,Y,Z)有X=0這個因式

這原理稱為　一次因式檢驗法．高一會教．

同理 f(X,0,Z)也=0  f(X,Y,0)也=0

表示 f(X,Y,Z)有X=0,Y=0,Z=0這３個因式

故 f(X,Y,Z)=XYZ×g(X,Y,Z)

又 deg f(X,Y,Z)=（X+Y+Z）³-（Y+Z-X）³-（X+Z-Y）³-（X+Y- Z）³=3

註： deg 指的是多項式函數的次方．

同時 deg f(X,Y,Z)=XYZ=3

所以 deg  g(X,Y,Z)=0  g(X,Y,Z)是一個常數

故 假設 f(X,Y,Z)=（X+Y+Z）³-（Y+Z-X）³-（X+Z-Y）³-（X+Y- Z）³=kXYZ

令X=1,Y=1,Z=1 代入

得 f(1,1,1)=（1+1+1）³-（1+1-1）³-（1+1-1）³-（1+1- 1）³=27-1-1-1=24=k×1×1×1=k

故 f(X,Y,Z)=（X+Y+Z）³-（Y+Z-X）³-（X+Z-Y）³-（X+Y- Z）³=24XYZ