引用文章趣味數學：鉛筆有幾支？

令Ｘ表示鉛筆枝數，Ｙ表示筆記本本數

∵任兩人買法都不同，小華花了最多錢
而且若小華少花些錢，也改買些筆記本，則一定會和某一位同學的買法相同

∴４１人的組合情形必定是緊密無間隔的．

∴４１人的（Ｘ,Ｙ）組合如下:

（１,１）

（１,２）（２,１）

（１,３）（２,２） （３,１）

．．．．．．．

（１,８）（２,７） （３,６）（４,５）（５,４） （６,３）（７,２）（８,１）

（１,９）（２,８） （３,７）（４,６）（５,５）

∵小華花了最多錢，且鉛筆比筆記本貴

∴小華可能的組合只有２種　　（８,１）或（５,５）

∵小華買了ｂ枝筆　　　　　　∴得到ｂ＝８或５

再來詳細考量這句話．

但若小華少花些錢，也改買些筆記本，則一定會和某一位同學的買法相同

也就是說，不會有小華少花些錢，也改買些筆記本，結果會有不同買法的情形

換句話說，後面藍色部分的組合情形的價錢必定高於小華的價錢

（１,１）

（１,２）（２,１）

（１,３）（２,２） （３,１）

．．．．．．．

（１,８）（２,７） （３,６）（４,５）（５,４） （６,３）（７,２）（８,１）

（１,９）（２,８） （３,７）（４,６）（５,５）（６,４）（７,３）（８,２）（９,１）

（１,１０）．．．．．．

我們拿（１,１０）來和（８,１）或（５,５）作比較

設ａ－ｂ＝ｋ，ａ＝ｂ＋ｋ

∵ａ，ｂ都是正整數　且　０＜ｋ＜８　　∴ｋ也一定是正整數

８ａ＋　　ｂ＝８（ｂ＋ｋ）＋　ｂ＝　９ｂ＋８ｋ

５ａ＋　５ｂ＝５（ｂ＋ｋ）＋５ｂ＝１０ｂ＋５ｋ

　ａ＋１０ｂ＝（ｂ＋ｋ）＋１０ｂ＝１１ｂ＋　ｋ

（１）若ｂ＝８

則　ａ＋１０ｂ＞８ａ＋　ｂ　且　８ａ＋　ｂ＞５ａ＋５ｂ

　　８８＋　ｋ＞７２＋８ｋ　　　７２＋８ｋ＞８０＋５ｋ

　　　　　１６＞７ｋ　　　　　　　　　３ｋ＞８

　　２又２／７＞ｋ　　　　　且　　　　　Ｋ＞２又２／３

∵ｋ是正整數　∴ｋ無解　（ａ,ｂ）無解

（２）若ｂ＝５

則　ａ＋１０ｂ＞５ａ＋５ｂ　且　　５ａ＋５ｂ＞８ａ＋　ｂ

　　１１ｂ＋ｋ＞１０ｂ＋５ｋ　　１０ｂ＋５ｋ＞９ａ＋８ｋ

　　５５＋　ｋ＞５０＋５ｋ　　　　５０＋５ｋ＞４５＋８ｋ

　　　　　　５＞４ｋ　　　　　　　　　　　５＞３ｋ

　　１又１／４＞ｋ　　　　　且　　１又２／３＞ｋ

但０＜ｋ＜８　故　ｋ＝１　（ａ,ｂ）＝（６,５）