小時候總以為數學只能用來考試，與現實生活完全脫節。其實日常許多看似複雜的問題都可以用簡單的數學來解決。本局曾經告訴大家怎麼用簡單的幾何繪圖追蹤墜落的隕石，現在再來示範用小朋友也會的數學來解決國際懸案。

前幾天西班牙鐵路驚傳出軌，是歐洲歷史上嚴重的事故，有近八十人死亡。調查人員還在調查出事的原因，有可能是車速過快，導致轉彎時離心力太大，重心不穩而出軌。有報導說，事發當時火車速限80公里的彎道，開到時速200公里，但是確實的速度還在調查。

真的需要什麼精密儀器才能知道火車的速度嗎？不！只要會國中數學，你也可以算出來。

比較新聞裡的照片和說明，我們可以在地圖上面找到出軌的地點。那裡正好有裝攝影機，因此整個過程都被拍下來，在YouTube上面就可以看到。利用YouTube的影片和網路上的地圖，我們可以大略的計算出當時的速度。這條鐵路兩年前才剛蓋好，只有微軟的Bing Maps才有。把空照圖放大，鐵路的彎道和兩邊的電線桿都清晰可見。

上面的影片分成兩部分：前半段是原來的影片，後半段是放慢一倍的慢動作重播。比對影片看空照圖中電線桿的位置，就可推測出攝影機的位置，接著就可以找到影片中火車頭從山坡後第一次出現的地點。

↑鐵路是那條灰色細線，藍框的是失事地點，紅色的圓圈代表出軌處的彎度。

↑上圖藍框內的放大空照圖，我們可以利用地圖裡的電線桿位置來估算距離。

影片中也可發現，出軌時火車頭是在陸橋後第三根電線桿處。地圖上可以大略測出每個電線桿的距離是三十公尺，所以，從火車剛出現到出軌的距離約是六個電線桿的間距：一百八十公尺。拿出碼表計時，從火車頭出現到出軌約花了3.25秒。

答案出來了：火車出事前的速度是180/3.25=每秒55.4公尺=時速199.6公里，和新聞報導的數字剛好吻合！我們不需要火車上的黑盒子，也可以知道火車真的超速了。

以這麼高的速度行駛這個彎道會產生很大的離心力。如果小時候的物理沒有忘光的話，您可能還記得這個公式：

a是離心力的加速度，v是速度，R是旋轉半徑。利用地圖估算，那彎道的旋轉半徑是320公尺，所以加速度a＝（時速199.6公里）x（時速199.6公里）／320公尺＝9.6公尺／平方秒。這和重力加速度幾乎一樣（g＝9.8公尺／平方秒），鐵路彎道必須向內傾斜45度才能抵消這麼大的離心力，但是從影片可以看出，鐵路幾乎沒有傾斜，在這麼高的速度下，火車只能向外翻覆了。如果當時火車遵守時速80公里的速限，離心力只有出軌時的15%，不會有安全顧慮。

火車為什麼會超速得這麼離譜？是火車駕駛睡著了嗎？開快車耍帥嗎？從地圖上可以看出來，火車才剛剛經過另一個大彎道，車內應該已經人仰馬翻、杯盤狼藉，為什麼駕駛還不減速？電腦系統為什麼會不知道？數學和物理就無法回答這些問題了。

我用BBC新聞裡的照片來確認火車出軌的位置。（圖片來源：BBC）。

參考資料：西班牙列車出軌 40年來最慘 聯合報