高斯邊聽邊看在畫一個幾何圖形

黎曼看到說：
高斯 那是啥麼東東？

噢 是基底向量與對偶基底向量的圖

那是在幹嗎？

這個嘛 要怎麼說呢？ 高斯沉思了一會 接著說

``一般來說 一個向量 A可以有兩種分量的表示法：
協變分量A_i 及反協變分量A^i
舉個例子來說
在直角座標系(狄卡兒座標系)裡
向量 A=i+2j+3k
可寫成

向量 A=i+2j+3k=A^1e_1+A^2e_2+A^3e_3=A_1e^1+A_2e^2+A_3e^3
而
A^1=1 , A^2=2 , A^3=3

e_1=i , e_2=j , e_3= k 表示單位向量

A_1=1 , A_2=2 , A_3=3

e^1=i , e^2=j , e^3= k 表示單位向量
"

那 協變分量A_i 及反協變分量A^i 有啥分別？

基底向量與對偶基底向量 有何關係？

基底向量一定要互相垂直嗎？

黎曼 一口氣提了三個問題

這個黎曼 似乎頗得數學的精髓