幾何三大難題及其解決

前言：年輕時學幾何 遇到三大難題 不得其解，始終記在心中。

引用：http://tieba.baidu.com/f?kz=20881288 (原文為簡體)

　　位於歐洲南部的希臘，是著名的歐洲古國，幾何學的故鄉。這裏的古人提出的三大幾何難題，在科學史上留下了濃濃的一筆。這延續了兩千多年才得到解決的世界性難題，也許是提出三大難題的古希臘人所不曾預料到的。 

三大難題的提出 

　　實際中存在著各種各樣的幾何形狀，曲和直是最基本的圖形特徵。相應地，人類最早會畫的基本幾何圖形就是直線和圓。畫直線就得使用一個邊緣平直的工具，畫圓就得使用一端固定而另一端能旋轉的工具，這就產生了直尺和圓規。 

　　古希臘人說的直尺，指的是沒有刻度的直尺。他們在大量的畫圖經歷中感覺到，似乎只用直尺、圓規這兩種作圖工具就能畫出各種滿足要求的幾何圖形，因而，古希臘人就規定，作圖時只能有限次地使用直尺和圓規這兩種工具來進行，並稱之為尺規作圖法。 

　　漫長的作圖實踐，按尺規作圖的要求，人們作出了大量符合給定條件的圖形，即便一些較為複雜的作圖問題，獨具匠心地經過有限步驟也能作出來。到了大約西元前6世紀到4世紀之間，古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個作圖問題。 

　　三等分角問題：將任一個給定的角三等分。 

　　立方倍積問題：求作一個正方體的棱長，使這個正方體的體積是已知正方體體積的二倍。 

　　化圓為方問題：求作一個正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。 

　　這就是著名的古代幾何作圖三大難題，它們在《幾何原本》問世之前就提出了，隨著幾何知識的傳播，後來便廣泛留傳於世。 

貌以簡單其實難 

　　從表面看來，這三個問題都很簡單，它們的作圖似乎該是可能的，因此，2000多年來從事幾何三大難題的研究頗不乏人。也提出過各種各樣的解決辦法，例如阿基米德、帕普斯等人都發現過三等分角的好方法，解決立方倍積問題的勃洛特方法等等。可是，所有這些方法，不是不符合尺規作圖法，便是近似解答，都不能算作問題的解決。 

　　其間，數學家還把問題作種種轉化，發現了許多與三大難題密切相關的一些問題，比如求等於圓周的線段、等分圓周、作圓內接正多邊形等等。可是誰也想不出解決問題的辦法。三大作圖難題就這樣絞盡了不少人的腦汁，無數人做了無數次的嘗試，均無一人成功。後來有人悟及正面的結果既然無望，便轉而從反面去懷疑這三個問題是不是根本就不能由尺規作出？ 

　　數學家開始考慮哪些圖形是尺規作圖法能作出來的，哪些不能？標準是什麼？界限在哪里？可這依然是十分困難的問題。 

高斯的發現 

　　歷史的車輪轉到了17世紀。法國數學家笛卡爾創立解析幾何，為判斷尺規作圖可能性提供了從代數上進行研究的手段，解決三大難題有了新的轉機。 

　　最先突破的是德國數學家高斯。他於1777年4月30日出生於布勞恩斯魏克一個貧苦的家庭。他的祖父是農民，父親是打短工的，母親是泥瓦匠的女兒，都沒受過學校教育。由於家境貧寒，冬天傍晚，為節約燃料和燈油，父親總是吃過晚飯就要孩子睡覺。高斯爬上小閣樓偷偷點亮自製的蕪菁小油燈，在微弱的燈光下讀書。他幼年的聰慧博得一位公爵的喜愛，15歲時被公爵送進卡洛琳學院，1795年又來到哥庭根大學學習。由於高斯的勤奮，入學後第二年，他就按尺規作圖法作出了正17邊形。緊接著高斯又證明了一個尺規作圖的重大定理：如果一個奇素數P是費爾馬數，那麼正P邊形就可以用尺規作圖法作出，否則不能作出。 

　　由此可以斷定，正3邊、5邊、17邊形都能作出，而正7邊、11邊、13邊形等都不能作出。 

　　高斯一生不僅在數學方面做出了許多傑出的成績，而且在物理學、天文學等方面也有重要貢獻。他被人們讚譽為“數學王子”。高斯死後，按照他的遺願，人們在他的墓碑上刻上一個正17邊形，以紀念他少年時代傑出的數學發現。 

最後的勝利 

　　解析幾何誕生之後，人們知道直線和圓，分別是一次方程和二次方程的軌跡。而求直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點問題，從代數上看來不過是解一次方程或二次方程組的問題，最後的解是可以從方程的係數（已知量）經過有限次的加、減、乘、除和開平方求得。因此，一個幾何量能否用直尺圓規作出的問題，等價於它能否由已知量經過加、減、乘、除、開方運算求得。這樣一來，在解析幾何和高斯等人已有經驗的基礎上，人們對尺規作圖可能性問題，有了更深入的認識，從而得出結論：尺規作圖法所能作出的線段或者點，只能是經過有限次加、減、乘、除及開平方（指正數開平方，並且取正值）所能作出的線段或者點。 

 作者：cts2452005-6-25 11:55 回復此發言   

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2 古典難題的挑戰——幾何三大難題及其解決 

　　標準有了，下來該是大膽探索、細心論證。誰能避過重重險灘將思維貫通起來，誰就是最後勝利者。1837年，23歲的萬芝爾以他的睿智和毅力實現了自己的夢想，證明了立方倍積與三等分任意角不可能用尺規作圖法解決，宣佈了2000多年來，人類征服幾何三大難題取得了重大勝利。 

　　他的證明方法是這樣的： 

　　假設已知立方體的棱長為a，所求立方體的棱長為x，按立方倍積的要求應有x3=2a3的關係。所以立方倍積實際是求作滿足方程x3－2a3＝0的線 

段X，但些方程無有理根，若令a=1,則要作長度為2的立方根的線段，但2的立方根超出了有理數加、減、乘、除、開方的運算範圍，超出了尺規作圖準則中所說的數量範圍，所以它是不可能解的問題。 

　　用類似地想法，他證明了三等分角也是不可能解的問題。實際上萬芝爾還證明了一個被稱為高斯——萬芝爾定理：如果邊數N可以寫成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素數，則可用尺規等分圓周N份，且只有當N可以表成這種形式時，才可用尺規等分圓周N份。根據這一定理，任意角的三等分就不可能了。 

　　1882年，德國數學家林德曼借助於eiπ=-1證明了π的超越性，從而解決了化圓為方的問題。假設圓的半徑為r，正方形的邊長為x，按化圓為方數代數方程的根，更不能用加減乘除開平方所表示，因而不可能用尺規法作圖。 

　　從此，古典幾何的三大難題都有了答案。 

　　2000多年來，一代接一代地攻克三大難題，有人不禁要問這值得嗎？假如實際中真遇到要三等分角、立方倍積、化圓為方，只要行之有效，何苦一定用尺規作圖法解決？其實，數學研究並非一定要實用，數學家對每一個未知之謎都要弄個清楚，道個明白，這種執著追求的拗勁正是科學的精神。更為重要的是，對三大難題的研究，反過來促進了數學的發展，出現了新的數學思想和方法，例如阿基米德、帕普斯發現的三等分角的方法，勃洛特用兩塊三角板解決立方倍積問題(這個我在上初中時曾經證明過，的確成立)，等分圓周、作正多邊形，高斯關於尺規作圖標準的重大發現等等。每一次突破不僅是人類智慧的勝利，使數學園地爭奇競豔，而且有利於科學技術的發展。 

　　特別值得提到的是，在三大幾何難題獲得解決的同時，法國數學家伽羅瓦從一般角度對不可能性問題進行研究，在1830年，19歲的伽羅瓦提出了解決這一類問題的系統理論和方法，從而創立了群論。群論是近世抽象代數的基礎，它是許多實際問題的數學模型，應用極其廣泛，而三大幾何作圖難題只不過是這種理論的推論、例題或習題。所以，一般認為三大難題的解決歸功於伽羅瓦理論，可伽羅瓦理論是在他死後14年才發表的，直到1870年，伽羅瓦理論才得到第一次全面清楚的介紹。 

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