排列組合與機率計算(十二) 二項分佈與超幾何分配與Excel函數應用總結

 

 

排列組合 - 好用工具箱

 

Deepseek：

 

首先，用戶解釋了二項概率的基本公式：

在n次獨立試驗中，事件發生r次的概率是C(n,r) * p^r * (1-p)^(n-r)。

這裡p是單次試驗成功的概率，C(n,r)是組合數。

 

用戶用擲5顆骰子，出現6點的概率作為例子，計算了從0到5次出現6點的概率，結果之和為1，這說明計算正確。

 

然後，用戶提到Excel中的BINOM.DIST.RANGE函數，並舉例說明。

 

例如，BINOM.DIST.RANGE(10,0.1,2,6)計算的是在10次試驗中，成功次數在2到6次之間的概率，結果為0.263892。

 

而另一個例子BINOM.DIST.RANGE(10,0.1,3)則等同於BINOM.DIST(3,10,0.1,0)，也就是剛好3次成功的概率，結果是約0.057396。

 

. BINOM.DIST.RANGE 函數解析

語法與參數

excel

=BINOM.DIST.RANGE(trials, probability_s, number_s, [number_s2])

 

trials：總試驗次數（如 10 次）。

probability_s：每次試驗成功的機率（如 0.1）。

number_s：成功次數的「下限」。

[number_s2]（可選）：成功次數的「上限」。若省略，則計算 恰好等於下限 的機率。

 

. 案例計算與手動驗證

案例一：範圍機率（2 ≤ X ≤ 6）

公式 =BINOM.DIST.RANGE(10, 0.1, 2, 6) 計算 10 次試驗中成功 2 到 6 次 的機率。

 

手動計算步驟：

逐項計算

P(X=r)=C(10,r)⋅(0.1)^r⋅(0.9)^10−r，

其中 r=2,3,4,5,6。

1.    P(X=2)=45⋅0.1^2⋅0.9^8≈0.1937

2.    P(X=3)=120⋅0.1^3⋅0.9^7≈0.0574

3.    P(X=4)=210⋅0.1^4⋅0.9^6≈0.0112

4.    P(X=5)=252⋅0.1^5⋅0.9^5≈0.0015

5.    P(X=6)=210⋅0.1^6⋅0.9^4≈0.0001.

 

總和：

0.1937+0.0574+0.0112+0.0015+0.0001≈0.2639。

與 Excel 結果一致。

 

案例二：單次機率（X = 3）

公式 =BINOM.DIST.RANGE(10, 0.1, 3) 省略上限參數，等同計算 恰好成功 3 次 的機率。

手動計算：

P(X=3)=C(10,3)⋅0.1^3⋅0.9^7=120⋅0.001⋅0.4782969≈0.0574.

與  Excel  的 BINOM.DIST(3,10,0.1,FALSE) 結果一致。

 

3. 函數對比：BINOM.DIST vs BINOM.DIST.RANGE

BINOM.DIST用途：計算單點或累積機率。參數特點：cumulative 控制是否累加。範例結果：0.0574

BINOM.DIST.RANGE用途：計算區間或單點機率。參數特點：可指定上下限或僅下限。範例結果：0.2639

 

 

4. 應用場景與注意事項

區間機率需求：

若需計算 範圍內機率（如 2~6 次），使用 BINOM.DIST.RANGE 更高效，避免逐項計算再手動加總。

範例：品質檢驗中，判斷不良品數落在「可接受範圍」的機率。

 

單點機率需求：

若只需計算 恰好某次數 的機率，兩函數等價，但 BINOM.DIST 參數更直觀。

「恰好成功3次」的意思是：

在固定次數的獨立試驗中，成功次數「正好等於3次」的機率，且其他次數均為失敗。 

這在統計學中屬於 單點機率（精確機率）的計算。以下透過生活化案例與公式解析，逐步說明其意義與應用：

概念解析：什麼是「恰好成功3次」？

舉例說明：

假設你拋一枚 不公平硬幣，正面朝上的機率是 0.1（10%），反面是 0.9（90%）。
問題：若拋硬幣 10次，「恰好出現3次正面」的機率是多少？
答案：

• 這就是計算 10次試驗中，成功（正面）3次 的機率，且其餘7次均為失敗（反面）。
• 此機率即為 二項分配 的單點機率。

數學公式與手動計算

二項分配公式：

P(X=r)=[C(n,r)⋅p^r]⋅[(1−p)^n−r]

 

• 參數意義：

o    n=10：試驗總次數。

o    r=3：成功次數。

o    p=0.1：單次成功的機率。

o    1−p=0.9：單次失敗的機率。

o    C(n,r)：組合數，計算從10次中選出3次成功的方式數。

 

 

手動計算步驟：

計算組合數：C(10,3)=(10!) / [3!(10−3)!] =120

計算成功次數的機率：0.1^3=0.001

計算失敗次數的機率：0.9^(10−3)=0.9^7≈0.4782969

相乘得最終機率：P(X=3)=120⋅0.001⋅0.4782969≈0.057396

 

Excel 函數驗證

使用 BINOM.DIST 函數：

excel

=BINOM.DIST(3,10,0.1,FALSE)  // 結果 ≈ 0.057396

• 參數解析：
  • 3：成功次數（恰好3次）。
  • 10：總試驗次數。
  • 0.1：單次成功機率。
  • FALSE：計算「單點機率」（非累積）。

使用 BINOM.DIST.RANGE 函數：

excel

=BINOM.DIST.RANGE(10,0.1,3)    // 結果 ≈ 0.057396

省略上限參數時，預設計算 恰好等於下限（3次） 的機率，等同於 BINOM.DIST(3,10,0.1,FALSE)。

 

---

．常見誤區與注意事項

誤區一：混淆「恰好」與「至少」或「至多」

• 「恰好3次」：只計算成功 正好3次，排除2次或4次。
• 「至多3次」：計算成功 0+1+2+3次 的累積機率（需設定 cumulative = TRUE）。
• 「至少3次」：計算成功 3+4+…+10次 的機率（需用 1 - 累積至2次的機率）。

誤區二：忽略試驗的獨立性

• 二項分配假設 每次試驗獨立（如：拋硬幣結果不影響下一次）。
• 若試驗間有依賴性（如：從有限群體中無放回抽樣），需改用 超幾何分配。

 

．實際應用場景

品質管制案例：

某工廠生產燈泡，不良率為 1%（p=0.01）。

問題：隨機抽檢 100個 燈泡，「恰好有3個不良品」的機率是多少？
計算：

P(X=3)=C(100,3)⋅0.01^3⋅0.99^97≈0.0613

此機率可協助判斷抽檢結果是否符合預期，或是否需調整生產流程。

 

6. 總結：關鍵概念圖示

概念	數學表示	Excel 函數	應用場景
恰好成功	P(X=r)	BINOM.DIST(r,n,p,FALSE)	精確判斷單一事件發生機率
範圍機率	P(a≤X≤b)	BINOM.DIST.RANGE(n,p,a,b)	風險評估或品質控管範圍

 

透過以上分析，「恰好成功3次」即為精確計算某一特定成功次數的機率，是二項分配的核心應用之一。

掌握此概念後，可進一步延伸至累積機率、區間機率與假設檢定等進階分析。

 

參數輸入陷阱：

下限 > 上限：Excel 會返回 #NUM! 錯誤。

非整數次數：參數必須為整數，否則自動截斷取整。

 

5. 進階驗證：數值穩定性分析

極端值測試：

當成功機率極低（如 p=0.001）時，高成功次數的機率趨近於 0，BINOM.DIST.RANGE 仍能穩定計算。

例如：=BINOM.DIST.RANGE(1000,0.001,5,10) 可快速計算罕見事件的區間機率。

 

總結

BINOM.DIST.RANGE 適用於快速計算二項分佈的 區間機率，簡化手動累加步驟。

單點機率可選用 BINOM.DIST 或省略上限的 BINOM.DIST.RANGE，兩者結果一致。

實際應用中，需注意參數合理性（如上下限範圍、整數限制），並透過手動驗證確保計算正確性。

 

---

 

接下來，用戶比較了二項分佈和超幾何分佈的區別：

 

二項分佈是每次試驗後放回（即獨立事件），而超幾何分佈是不放回的。這部分需要確認是否正確。

是的，超幾何分佈通常用於無放回抽樣，而二項分佈適用於有放回或總體很大近似獨立的情況。

 

用戶還討論了一個例子，

當X是三次試驗的總成功次數時，各個成功次數的概率計算方式。

 

這裡可能需要更清晰的解釋。

例如，對於0個成功的情況，使用者提到3C0 * p^0 * (1-p)^3，這部分是對的，

 

然後，用戶給出另一個例子：

產品不良率為0.1，抽檢10個，剛好3個不良品的概率是BINOM.DIST(3,10,0.1,0)得到的0.057395628。

並解釋了累積參數為TRUE時，計算的是從0到指定次數的累積概率。

 

例如，在擲5顆骰子的例子中，出現1次6點的概率計算為5C1*(1/6)^1*(5/6)^4，得到的結果是0.401878，和出現0次的結果相同。

5C0*(1/6)^0*(5/6)^5 = 1*1*(5/6)^5 ≈ (5/6)^5 ≈ 0.401877572，四捨五入到小數點後六位是0.401878，正確。

5C1*(1/6)^1*(5/6)^4 = 5*(1/6)*(5/6)^4 ≈ 5*(1/6)*(625/1296) ≈ 5*(625/7776) ≈ 3125/7776 ≈ 0.401877572，同樣得到0.401878。

 

接下來出現的其他結果，例如出現2次的是0.160751，是否計算正確？計算5C2*(1/6)^2*(5/6)^3：

5C2 = 10，所以10*(1/6)^2*(5/6)^3 = 10*(1/36)*(125/216) = 10*(125)/(36*216) ≈ 1250/(7776) ≈ 0.160751028，正確。

 

BINOM.DIST.RANGE(10,0.1,2,6)中的參數依次是試驗次數n=10，成功概率p=0.1，下限2，上限6，返回的是成功次數在2到6之間的概率總和。

使用者給出的結果是0.263892。

 

手動計算的話，這個概率應該是從r=2到r=6的各個概率之和。

即Σ（C(10,r)*0.1^r*0.9^(10-r)）從r=2到6。

這個計算可能比較繁瑣，但可以用Excel函數來驗證。

 

另外，當只給出一個參數時，如BINOM.DIST.RANGE(10,0.1,3)，是否返回的是恰好3次的概率？

根據使用者所述，確實如此，結果和BINOM.DIST(3,10,0.1,0)相同，約0.057396。

這說明BINOM.DIST.RANGE在只有一個參數時，視為下限和上限相同，即恰好該次數的概率。

 

關於用戶對二項分佈和超幾何分佈的區分是否正確？

是的，用戶正確指出了兩者的區別在於抽樣是否放回。

不過可能需要更明確的說明，超幾何分佈適用於有限總體且不放回的情況，而二項分佈適用於無限總體或放回的情況。

 

在用戶討論的X=X1+X2+X3的例子中，Xi為0或1，總共有三次試驗，每個試驗的成功概率是p。

 

例如，用戶提到“0個1的機率：3C0=1(證真組合的可能性) X 證真機率^證真幾種 + 3C3=1(證假組合的可能性) X 證假機率^證假幾種”。正確的公式是C(3,0)*p^0*(1-p)^3。

正確的計算應該是每個成功次數r的組合數為C(n,r)，然後乘以p^r*(1-p)^(n−r)，用戶似乎將成功和失敗的組合拆開解決延伸的問題。

 

例如，使用者提到的“證真組合的可能性”和“證假組合的可能性”可能是想分開計算，但實際上它們是同一個組合數的兩部分，

即C(n,r) = C(n, n−r)，但公式中的指數部分應該分別對應成功次數和失敗次數。

 

所以使用者在這裡可能需要更準確的表達，例如，C(n,r)是選擇r次成功的位置的方式數，然後乘以p^r（成功的概率）和(1−p)^{n−r}（失敗的概率）。

 

最後，用戶給出的例子中，計算BINOM.DIST(3,10,0.1,0)得到0.057395628，而累積到3次的結果是各個概率之和，用戶用BINOM.DIST(3,10,0.1,1)得到0.987204802，

 

但根據實際計算，BINOM.DIST(3,10,0.1,1)應該是累積到3次的概率，即r=0到3的和。用戶給出的數值是否正確？

 

計算各次數的概率：

r=0: C(10,0)*0.1^0*0.9^10 ≈ 0.3486784401

r=1: C(10,1)*0.1^1*0.9^9 ≈ 10*0.1*0.387420489 ≈ 0.387420489

r=2: C(10,2)*0.1^2*0.9^8 ≈ 45*0.01*0.43046721 ≈ 45*0.0043046721 ≈ 0.1937102445

r=3: C(10,3)*0.1^3*0.9^7 ≈ 120*0.001*0.4782969 ≈ 120*0.0004782969 ≈ 0.057395628

 

將這些相加：0.3486784401 + 0.387420489 ≈ 0.7360989291 + 0.1937102445 ≈ 0.9298091736 + 0.057395628 ≈ 0.9872048016，

所以用戶的結果正確，即BINOM.DIST(3,10,0.1,1)≈0.987204802。

 

以下是關於二項分配的詳細說明及Excel函數應用總結：

二項分配基本概念

在 n次獨立試驗 中，某事件發生 r次 的機率公式為：

P(X=r)=C(n,r)⋅p^r⋅(1−p)^n−r

 C(n, r)：組合數，表示從n次試驗中選出r次成功的方式數。

p：單次試驗成功的機率。

(1-p)：單次試驗失敗的機率。

 

擲骰子範例驗證

投擲5顆骰子，計算出現k次6點（不良製程）的機率（p=1/6 ）：

．出現0次6點：

C(5,0)⋅(1/6)^0⋅(5/6)^5=1⋅1⋅(5/6)^5≈0.401878

．出現1次6點：

C(5,1)⋅(1/6)^1⋅(5/6)^4)=5⋅1/6⋅(5/6)^4≈0.401878

．同理可計算其他次數，總和為1，驗證公式正確性。

 

．Excel函數應用

BINOM.DIST函數：

語法：BINOM.DIST(number_s, trials, probability_s, cumulative)

 

參數：

number_s：成功次數。

trials：總試驗次數。

probability_s：單次成功機率。

cumulative：TRUE（累積機率，≤ number_s）；FALSE（精確機率，= number_s）。

 

範例：

不良率0.1，抽驗10次中恰好3次不良：

=BINOM.DIST(3, 10, 0.1, FALSE)≈0.057396

 

累積至3次不良（≤3次）：

=BINOM.DIST(3, 10, 0.1, TRUE)≈0.987205

 

BINOM.DIST.RANGE函數：

 

語法：BINOM.DIST.RANGE(trials, probability_s, number_s, [number_s2])

 

功能：計算範圍內的成功機率（含上下限）。

 

範例：

10次試驗中成功2到6次的機率：

=BINOM.DIST.RANGE(10, 0.1, 2, 6)≈0.263892

 

若省略上限，則計算恰好指定次數（等同BINOM.DIST）：

=BINOM.DIST.RANGE(10, 0.1, 3)≈0.057396

 

二項分配 vs. 超幾何分配

二項分配：適用於有放回或無限總體（每次試驗獨立，機率固定）。

 

超幾何分配：適用於無放回抽樣（機率隨抽樣改變）。

 

常見誤區釐清

組合數對稱性：

C(n,r)=C(n,n−r)，但需注意機率中的指數次方（如成功r次需搭配失敗n−r次）。

 

P(X=r)=C(n,r)⋅p^r ⋅(1−p)^n−r

 

累積機率計算：使用cumulative = TRUE時，結果為從0到指定次數的總和。

 

總結

二項分配用於獨立試驗的機率計算，Excel函數可快速處理複雜運算。

確保正確區分精確機率（FALSE）與累積機率（TRUE）的應用場景。

 

超幾何分配適用於有限總體無放回情境，與二項分配互補。

透過以上整理，可更清晰掌握二項分配的核心概念與實務操作技巧。

 

回顧超幾何分佈的定義：

它適用於不放回的抽樣，每次試驗後樣本總體會減少，因此每次試驗的概率會變化。

而二項分佈是有放回的抽樣，每次試驗獨立，概率不變。

這點非常重要，必須明確區分兩者的應用場景。

 

接下來，需要給出超幾何分佈的公式，並解釋各個參數的含義。

例如，公式中的N（總體大小）、K（成功元素數量）、n（抽取的樣本數量）、k（樣本中的成功次數）。同時，對比二項分佈的公式，強調超幾何分佈沒有獨立性，因為不放回。

 

然後，需要提供具體的例子，比如從牌堆中抽牌，品質檢測中的抽樣等，來說明超幾何分佈的應用。

同時，用Excel函數HYPGEOM.DIST來演示如何計算概率，包括精確概率和累積概率，類似於之前二項分佈的示例。

 

此外，用戶之前提到了BINOM.DIST.RANGE函數，但超幾何分佈在Excel中是否有類似的函數呢？

根據我的知識，Excel中的HYPGEOM.DIST函數主要用於計算精確值或累積概率，但沒有直接的RANGE函數。

可能需要使用累積概率的參數設置來模擬範圍計算，或者通過多次調用HYPGEOM.DIST並相加。

這點需要明確說明，避免使用者混淆。

 

還需要注意使用者可能存在的誤區，例如在樣本量較大時，超幾何分佈和二項分佈的結果可能接近，但前提是樣本量相對於總體非常小。

這時候需要提醒使用者注意兩者的適用條件，避免錯誤應用。

 

最後，總結超幾何分佈與二項分佈的關鍵區別，幫助用戶在實際問題中選擇正確的模型。

同時，強調Excel函數的參數設置和實際應用中的注意事項，比如參數輸入順序、累積與精確模式的區別等。

 

在整理這些內容時，要保持結構清晰，分點說明，便於用戶理解和查閱。

可能需要使用公式展示、示例計算和Excel函數語法說明，確保使用者能夠逐步跟隨並應用所學知識到實際問題中。

 

超幾何分配基本概念：

超幾何分配用於描述在 有限總體不放回抽樣 中，成功事件發生的機率分佈。適用於以下情境：

 

總體數量固定（如：一箱產品、一副撲克牌）。

每次抽樣不放回，導致每次抽樣的成功機率改變。

關注 特定成功次數 在抽樣中的機率。

 

超幾何分配公式：

若總體大小為 N，其中有 K 個「成功元素」，從中抽取 n 個樣本，則恰好抽到 k 個成功元素的機率為：

P(X=k)= C(K,k)⋅C(N−K,n−k)/C(N,n)

​C(a,b)：組合數，表示從 a 個元素中選取 b 個的方式數。

適用條件：max(0,n+K−N)≤k≤min(K,n)。

 

與二項分配的關鍵區別：

Excel函數應用：HYPGEOM.DIST

函數語法：

excel

=HYPGEOM.DIST(sample_s, number_sample, population_s, population_size, cumulative)

 

參數說明：

sample_s：樣本中的成功次數 k。

number_sample：抽取的樣本數 n。

population_s：總體中的成功元素數 K。

population_size：總體大小 N。

cumulative：TRUE（累積機率，≤ k）；FALSE（精確機率，= k）。

 

範例說明：

情境：一箱 50 個產品中有 5 個不良品，隨機抽取 10 個，求恰好 2個不良品的機率。

=HYPGEOM.DIST(2, 10, 5, 50, FALSE)≈0.2105

 

累積機率（≤2個不良品）：

=HYPGEOM.DIST(2, 10, 5, 50, TRUE)≈0.9522

 

產品品質檢驗：

總體 N=100 個產品，已知不良品 K=10 個。

隨機抽檢

n=20 個，計算抽到 k=3 個不良品的機率：

P(X=3)= C(10,3)⋅C(90,17)/C(100,20) ≈0.198

Excel公式：=HYPGEOM.DIST(3,20,10,100,FALSE)

 

 

撲克牌遊戲：

一副牌 N=52 張，其中紅心 K=13 張。

抽 n=5 張，求至少 2 張紅心的機率（使用累積機率）：

P(X≥2)=1−P(X≤1)=1−HYPGEOM.DIST(1,5,13,52,TRUE)≈0.588

 

超幾何分配的近似與極限

當 N 極大且 n≪N，超幾何分配近似二項分配：

P(X=k)≈C(n,k)⋅( K/N )^k ⋅(1− K/N )^n−k

 實務應用：若總體大小為樣本量的 20 倍以上，可簡化使用二項分配計算。

 

常見誤區與注意事項：

參數輸入順序：

Excel 的 HYPGEOM.DIST 參數順序易混淆，需嚴格對照：

sample_s, number_sample, population_s, population_size。

 

範圍計算限制：

Excel 無直接計算區間機率的函數（類似 BINOM.DIST.RANGE），需手動加總：

例：計算 k=2 到 k=4 的機率：

∑k from 2 to 4 HYPGEOM.DIST(k, n, K, N, FALSE)

總體與樣本限制：

若 n>N或 K>N，公式無意義，Excel 將返回錯誤。

 

總結

超幾何分配適用於 小總體不放回抽樣，其機率依賴總體與樣本的組合關係。

Excel 的 HYPGEOM.DIST 可快速計算精確或累積機率，但需注意參數順序與適用條件。

實際應用中，當總體遠大於樣本量時，可近似使用二項分配簡化計算。

透過對比二項與超幾何分配，可更精準選擇模型解決實際問題。

 

​​​​​​​===