排列組合 - 好用工具箱
POISSO卜氏分配，探討某段時間內發生某事的次數的機率。
在某個的持續時間裡，探討分割成極短暫的證真或證假機率即=(np)，與伯努利試驗相同的計算方式。得到： lim ( n → ∞ ) (1 - (λ/n)) ^ n = e ^ -λ，令二項次分配函數的 C(n,k) X P(X) ^ k X ( 1-(P(X))) ^n-k，將P代入分科後的極限自然指數P=(λ/n)。後展開得到： lim ( n → ∞ ) n! / (n-k!) X k! X (λ/n)^ k X ( 1-((λ/n))) ^n-k。後再簡化成：P(X) =(λ) ^k / k! X e ^－λ=( (np) ^k / k!) X e ^－np ，記
為X～兀(λ)，或記為X～Poisson(λ)。X服從母數為λ的卜氏分布。
某加油站來加油的汽車數，已知平均值每小時有24輛車來加油，也就是每5分鐘平均有24/(60/5)=2輛車前來加油。
如果將5分鐘作為一個單位(n=1)，發生2輛車前來加油(p=2)，那就是期望值E(X)=λ=2，探討對於加油站在一個單位時間(此例為5分鐘)會發生幾次汽車加油事件k的機率。
每單位時間恰有一輛車的機率，也就是k=1，λ=2時是27.067%。
二個單位時間恰有一輛車的機率，也就是k=1，λ=4時是7.326%。
每個單位時間沒有車的機率，也就是k=0，λ=2時是13.5334。
二個單位時間沒有車的機率，也就是k=0，λ=4時是1.832%。
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某餐廳某段時間(上午10點到下午2點)，共有480名顧客，則此餐廳在此時段中，一分鐘內恰好有4個顧客的機率是多少？
了解分析轉化問題所要表達的意義：4小時共240分鐘，平均每一分鐘平均值E(X)(期望值)=λ=np=2人，2人 X 240分鐘 = 4小時共有480名顧客。
推算在此時店中每分鐘人數恰好k=4時，機率是9.02%，全部( lim ( n → ∞ )=1)的人去減去(出現0人+出現1人+出現02人+出現3人+出現4人的機率)即表示超過4人(包含)機率是5.27%。
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某商店於每星期(這時空)進進出出的客人(這事件次數)很多（=n），但某商品被賣出的機率很小（=p），只知道平均一星期賣出兩件：λ=np=2。
推算可知每星期賣出k次補貨的機率是與所有出貨狀態做比較=1 - POISSON(k,λ,1)，賣出 8 件補貨的機率為 0.024%，賣出 7 件補貨的機率為 0.110%，賣出5件補貨的機率為 1.656%，賣出2件補貨的機率為 32.332%，不用補貨的機率為 86.466%。
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你提供的是關於**卜瓦松分配（Poisson distribution）**的一個非常完整且具體的說明，以下我幫你整理與補充，使整體邏輯更清楚、條理更分明，也方便學習者理解。
卜瓦松分配是一種離散機率分配，用來描述在固定的時間或空間單位內，某事件發生次數的機率，當事件：
就可以使用卜瓦松分配來近似原本的二項分配（Binomial distribution）。
Poisson 分配的機率質量函數（PMF）為：
P(k; λ) = (e^{-λ} * λ^k) / k!
(1) 5分鐘內剛好有1輛車 (k=1)：
P(X=1)=2^1⋅e^−2/1!≈0.2707=27.07%
(2) 10分鐘（兩個單位）來1輛車（λ = 4, k = 1）：
P(X=1)=4^1⋅e^−4/1!≈0.0733=7.33%
(3) 5分鐘內沒車 (k=0)：
P(X=0)=2^0⋅e^−2/0!=e^−2≈0.1353=13.53%
(4) 10分鐘內沒車（λ=4, k=0）：
P(X=0)=4^0⋅e^−4/0!=e^−4≈0.0183=1.83%
(1) 每分鐘剛好4人：k=4，λ=2
P(X=4)=2^4⋅e^−2/4!=16⋅e^−2/24≈0.0902=9.02%
(2) 超過4人的機率 = 1 − P(X≤4)
計算 P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
這可用統計表或計算器得出約值：
P(X>4)=1−P(X≤4)≈1−0.9473=0.0527=5.27%
(1) 賣出8件 (k=8)
P(X=8)=2^8⋅e^−2/8!≈0.00024=0.024%
(2) 不用補貨（0件）：
P(X=0)=2^0⋅e^−2/0!=e^−2≈13.53%
你提到的是「不用補貨的機率為 86.466%」可能是指「不超過某補貨基準」的累積機率，而非單一的 P(X=0)，這部分可以釐清一下你的補貨標準（如超過幾件才需要補貨）。
謝謝你釐清，「不用補貨」是指一週完全沒賣出任何商品，也就是 k=0k = 0k=0 的情況。
✅ 再次確認公式：
給定 Poisson 分配的參數為 λ = 2（表示平均每週賣出 2 件），要計算：
P(X=0)=20⋅e−20!=e−2≈0.1353=13.53%P(X = 0) = \frac{2^0 \cdot e^{-2}}{0!} = e^{-2} \approx 0.1353 = 13.53\%P(X=0)=0!20⋅e−2=e−2≈0.1353=13.53%
❗ 你提到的「不用補貨的機率為 86.466%」這個數值其實是錯的，應為：
你可能將「賣出 0~2 件」的累積機率（即不太需要補貨的範圍）與單純的 P(X=0)P(X=0)P(X=0) 搞混了。實際上：P(X≤2)=P(0)+P(1)+P(2)P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2)P(X≤2)=P(0)+P(1)+P(2)
我用1 - POISSON(k,λ,1)
你提到的公式：
1 - POISSON(k, λ, 1)
這是 Excel 的 POISSON.DIST 函數的寫法，用來計算 「大於 k」的機率，也就是：
P(X>k)=1−P(X≤k)
excel
POISSON.DIST(x, mean, cumulative)
P(X≤2)≈0.1353+0.2707+0.2707=0.6767=67.67%
這表示：
< data-start="732" data-end="778" >有 67.67% 的機率每週賣出不超過 2 件（可能不需要補貨，依庫存狀況而定）而完全沒賣出（不用補貨）機率為 13.53%
< data-start="824" data-end="851" >「賣出 0 件」的機率正確為 13.53%若想知道「不太可能需要補貨的範圍」，請使用累積機率 P(X≤k)P(X \leq k)P(X≤k)
x：你要計算的機率事件次數（k）mean：λ，也就是期望值（平均次數）cumulative：如果為 TRUE，計算累積機率 P(X≤x)
用戶現在想從二項分佈推導出泊松分佈，
對吧？他們提到了
我需要確認這個推導過程是否正確，以及如何詳細解釋每一步。
首先，我需要回顧二項分佈的公式。
二項分佈的概率品質函數是C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)。這裡的C(n,k)是組合數，也就是從n次試驗中選k次成功的組合數。
用戶給出的極限形式是C(n,k)*(λ/n)^k*(1-λ/n)^(n−k)，這應該是當p=λ/n時的情況，這時候np=λ，保持不變。
當n趨近於無窮大，p趨近於0，這樣np=λ固定，這正是泊松分佈作為二項分佈的極限情況的條件。
接下來，我需要逐步展開這個極限推導。
首先，組合數C(n,k)可以寫成n!/(k!(n−k)!))，然後代入p=λ/n。這時候概率運算式變為：
P(X=k) = [n! / (k!(n−k)!))] * (λ/n)^k * (1−λ/n)^{n−k}
接下來，我需要分步驟處理每一部分的極限。
首先處理組合數部分，當n很大時，n!/(n−k)! ≈ n^k，因為展開的話n!/(n−k)!)=n*(n−1)*...*(n−k+1)，當n遠大于k時，這大約等於n^k。因此，組合數部分可以近似為n^k /k!。
接下來，(λ/n)^k部分，可以分解成λ^k /n^k。
這時候組合數乘以這個部分就變成 (n^k /k! ) * (λ^k /n^k ) = λ^k /k!。這一步處理是否正確呢？是的，因為n^k和分母的n^k約掉了，剩下的就是λ^k /k!。
然後處理剩下的部分，(1−λ/n)^{n−k}。
這裡當n趨近于無窮大時，這個運算式可以近似為e^{-λ}，因為極限lim_{n→∞} (1−λ/n)^n = e^{-λ}。而原來的指數是n−k，所以可以拆分為(1−λ/n)^n * (1−λ/n)^{-k}。
當n很大時，(1−λ/n)^{-k}趨近於1，因為λ/n趨近於0，所以整體這部分趨近於e^{-λ}。
把所有這些部分結合起來，原來的運算式的極限就是 (λ^k /k! ) * e^{-λ}，也就是泊松分佈的公式。
這樣推導是正確的，但使用者可能需要注意每個步驟中的近似條件和極限的正確性，尤其是在處理組合數和指數項的時候。
用戶可能的問題點在於是否理解為什麼當n很大而p很小時，這種近似成立。
可能需要進一步解釋，比如當試驗次數非常多，但每次成功的概率很低時，事件發生的次數可以用泊松分佈來近似，例如電話呼叫次數、到達加油站的車輛數等。
這種場景下，二項分佈的計算可能變得複雜，而泊松分佈提供了一種更簡便的方式。
另外，用戶提供的例子中，當n趨近于無窮大時，組合數的近似是否正確？
是的，因為當k遠小於n時，n−k≈n，所以組合數的近似是合理的。同時，指數部分的處理是否正確？是的，利用了已知的極限公式lim(1−a/n)^n →e^{-a}。
總結來說，用戶的推導是正確的，但可能需要詳細展開每個步驟，以確保理解每一步的數學處理，特別是組合數的近似和指數部分的極限轉換。
此外，強調這個推導的條件：n大，p小，np固定為λ，這樣才能保證泊松分佈作為二項分佈的極限成立。
從二項分佈推導泊松分佈的過程，
以下是逐步推導：
二項分佈的概率質量函數（PMF）為：
其中：
FALSE，計算機率質量函數 P(X=x)
所以：
excel
1 - POISSON.DIST(k, λ, TRUE)計算的就是：
P(X>k)
λ = 2，每週平均賣出 2 件商品
想知道「完全沒賣出（即 k = 0）」的機率
這時你不需要用 1 - POISSON.DIST(k, λ, TRUE)，而是直接：
excel
=POISSON.DIST(0, 2, FALSE)結果為：
P(X=0)=2^0⋅e^−2/0!=e^−2≈0.1353=13.53%
若你用：
Excel
1 - POISSON.DIST(0, 2, TRUE)你其實是在算：
P(X>0)=1−P(X≤0)=1−P(0)=1−0.1353=0.8647=86.47%
➡️ 這正是你之前提到的「不用補貨的機率為 86.466%」的數值來源，但這是錯誤理解。它其實是**「有賣出至少1件」的機率**，而不是「沒賣出」的機率。
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想知道什麼？ |
正確 Excel 寫法 |
結果 |
|---|---|---|
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完全沒賣出（k = 0） |
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13.53% |
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至少賣出 1 件（k > 0） |
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86.47% |
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賣出不超過 2 件 |
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67.67% |
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賣出超過 5 件 |
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約2.12% |
如果你還有其他 Excel 模型或想進一步自動化計算，我也可以幫你設定！
Poisson 分配可以看作是下列極限：
Lim n→∞ C(n,k)⋅(λ/n)k⋅(1−λ/n)^n−k=λ^k⋅e^−λ / k!
這說明當 n 很大且 p 很小，而 np 固定為 λ 時，二項分布趨近於 Poisson 分布。
< >Poisson 分配適合處理「單位時間內事件發生次數」的問題，如：電話進線數、顧客上門數、事故發生次數。重點是掌握：λ 是期望值（平均次數），k 是實際觀察次數。若你會使用 Excel、Python、R，都可以使用內建的 POISSON.DIST 函數快速計算。
假設 n→∞，且 p=λ/n，使得期望值 λ=np保持固定。代入二項分佈公式：
展開組合數並近似：
當 n→∞ 且 k≪n 時，近似為：
因此：
將近似後的組合數代入原式：
拆分項次：
關鍵在於處理 (1−λ/n)^n−k。當 n→∞ 時：
將所有近似結果合併：
最終得到：
這正是 泊松分佈的概率質量函數，證明瞭當 n→∞、p→0，且 λ=np固定時，二項分佈收斂至泊松分佈。
假設 λ=2λ=2，比較二項分佈與泊松分佈的結果：
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條件 |
二項分佈 (n=100,p=0.02) |
泊松分佈 (λ=2) |
|---|---|---|
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數值高度接近，驗證了推導的正確性。
嗯，我現在要仔細研究一下泊松分佈的應用問題。
首先，我需要確認自己是否理解泊松分佈的基本概念和應用場景。
首先，泊松分佈是用來描述在固定時間或空間內，某事件發生次數的概率分佈。
例如，這裡的問題是，加油站每5分鐘有汽車來加油的次數，這個次數符合泊松分佈的條件，即事件獨立發生，且平均發生率已知。
用戶給出的例子中，每小時平均有24輛車來加油，也就是每5分鐘的平均數是24/(60/5)=2輛。
這裡要注意，單位時間的轉換是否正確。每小時60分鐘，每5分鐘作為一個單位，所以每小時有12個這樣的單位。
因此，平均每個單位時間（5分鐘）的車輛數λ=24/12=2，這沒錯。所以，當使用者提到將5分鐘作為單位時間時，λ=2是正確的。
接下來，用戶舉了幾個例子，比如一個單位時間（5分鐘）內恰好來1輛車的概率是27.067%。
這裡應該是使用泊松分佈的概率品質函數計算出來的結果。泊松分佈的概率公式是P(k; λ) = (e^{-λ} * λ^k) / k!。我需要驗證這個計算是否正確。
例如，當k=1，λ=2時，計算P(1;2)：
e^{-2}大約是0.135335，然後乘以2^1=2，再除以1!，所以得到0.135335*2=0.27067，也就是27.067%，和用戶給出的結果一致。這說明這個例子是對的。
接下來使用者提到，當考慮兩個單位時間，也就是10分鐘的時候，λ應該是原來的兩倍，也就是4。
這時候求兩個單位時間內恰好來1輛車的概率是7.326%。這裡我需要檢查是否正確。
計算k=1，λ=4時的泊松概率：P(1;4)= (e^{-4} *4^1)/1!。e^{-4}≈0.0183156，乘以4得到0.0183156*4≈0.073262，也就是7.326%，和使用者的資料一致，所以這個結果是對的。
然後使用者給出每個單位時間（5分鐘）沒有車的概率，也就是k=0，λ=2時是13.3534%。
這裡應該是13.5335%左右，因為計算P(0;2)=e^{-2}≈0.135335，也就是13.5335%。
當k=0，泊松概率是e^{-λ}，所以當λ=2時，確實是e^{-2}=約0.1353，即13.53%。
另外，使用者隨後提到兩個單位時間（10分鐘）沒有車的概率，λ=4時是1.832%。這時候計算P(0;4)=e^{-4}≈0.0183156，也就是1.83156%，約等於1.832%，這和使用者的資料一致。所以這部分是對的。
接下來，我需要考慮使用者是否還有其他可能的疑問。例如，使用者可能想確認當時間單位變化時，λ的調整是否正確，或者如何應用泊松分佈的公式。
例如，當時間單位從5分鐘變為10分鐘時，平均次數變成原來的2倍，即λ=2*2=4，這是正確的，因為λ是單位時間內事件的平均發生次數，時間延長則λ按比例增加。
此外，泊松分佈的應用中，每個時間段內的事件發生是獨立的，這也是假設條件之一，使用者可能需要確認這些條件是否滿足。
泊松分佈用於計算固定時間內事件發生次數的機率，其公式為：
以下針對用戶提供的例子逐一驗證：
計算：
計算：
計算：
計算：
λ=480/240=2
P(X=k)=λ^k⋅e^−λ/k!
P(X=4)=2^4⋅e^−2/4!
最終，餐廳在一分鐘內恰好有4個顧客的概率為：9.02%
1 - POISSON(k,2,1)，即P(X > k)。以下是各k值的正確補貨機率：
結論：
前四項數值正確，但「不用補貨的機率」應為85.71%（對應k=3），題目中的86.466%可能存在誤差或定義差異。
錯誤提示：
題目中的「不用補貨的機率86.466%」可能為誤寫，正確值應接近85.71%（對應k=3），其餘數值正確。
不用補貨是指完全沒賣出 k=0，但是使用 1 - POISSON.DIST(k, λ, TRUE)和=POISSON.DIST(0, 2, FALSE)卻是不同，P(X=0)=2^0⋅e^−2/0!=e^−2≈0.1353=13.53%，P(X>0)=1−P(X≤0)=1−P(0)=1−0.1353=0.8647=86.47%。
不用補貨的機率（k=0）：
即「一週賣出0件」的機率，用泊松分佈的 概率質量函數 (PMF) 計算：
需要補貨的機率：
即「至少賣出1件」的機率，用 累積分佈函數 (CDF) 的補數計算：
題目聲稱的「不用補貨機率86.466%」：
此數值實際上是 需要補貨的機率（即賣出至少1件），而非題目誤寫的「不用補貨」。
正確數值應為：
不用補貨（k=0）：13.53%
需要補貨（k≥1）：86.47%
公式混淆的根源：
．POISSON.DIST(0, 2, FALSE) 計算的是 P(X=0)P(X=0)（正確值13.53%）。
．1 - POISSON.DIST(0, 2, TRUE) 計算的是 P(X>0)P(X>0)（正確值86.47%）。
題目將「需要補貨」的機率誤標為「不用補貨」，導致矛盾。
|
賣出件數 (k) |
公式 |
機率 |
補貨需求 |
|---|---|---|---|
|
k=0 |
|
13.53% |
不用補貨 |
|
k=1 |
|
27.07% |
需補貨（累積計算） |
|
k=2 |
|
27.07% |
需補貨（累積計算） |
|
k>2 |
|
32.33% |
需補貨（累積計算） |
定義錯誤：
題目中的「不用補貨機率86.466%」實際是 需要補貨的機率（賣出至少1件），而非賣出0件的機率。
正確的「不用補貨機率」應為 13.53%（對應k=0）。
若需計算「賣出超過k件才補貨」的機率，使用 1−POISSON.DIST(k,2,TRUE)。
若直接計算「賣出k件的機率」，使用 POISSON.DIST(k,2,FALSE)。
需要補貨的機率（k≥1）：
1−P(X=0)=1−0.1353=0.8647=∗∗86.47%∗∗
與題目中的「86.466%」一致，但此為 需補貨的機率，而非不用補貨。
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