教學機器人 工程數學-1

編著: 夏肇毅

初版: 2026/5/3

1.1 多項式積分與基本公式

多項式積分的基本方法與公式，重點在於掌握 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ 的應用。首先，對簡單多項式進行積分，如 $\int x^2 dx$，可直接得到 $\frac{x^3}{3}+C$。對於更高次方的多項式，將其拆分為單項式再逐一積分，並利用線性性 $\int (ax^n+bx^m) dx = a \int x^n dx + b \int x^m dx$ 來簡化計算。此外，介紹如何將常數因子提取出來，減少計算錯誤的可能性，例如 $\int 5x^3 dx = 5 \int x^3 dx = \frac{5x^4}{4}+C$。練習部分，選取不同次方和係數的多項式來進行積分，討論計算中可能出現的常見錯誤，如指數加1後未除以正確的次方數等。

1.2 分式積分與部分分式法

介紹分式積分，特別是有理函數 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的積分方法。當分子次數小於分母次數時，可以直接使用部分分式法將分母分解為不可約因子，再拆分成 $\frac{A}{x-r}$ 或 $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$ 的形式。例如，對於 $\int \frac{2x+3}{x^2+x-2} dx$，先將分母分解為 $(x+2)(x-1)$，再寫成 $\frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$，解聯立方程求出 A、B，最後逐項積分得到 $\int \frac{2x+3}{x^2+x-2}\,dx=A\ln \mid x+2 \mid +B\ln \mid x-1 \mid +C$。若分子次數大於或等於分母次數，則需先進行多項式長除法，再對餘式部分使用部分分式分解。這種方法能將複雜的有理函數積分化為若干基本對數與反三角函數積分，是微積分中處理代數分式的重要技巧。

1.3 指數與對數函數積分

對於 $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$，需要掌握 a 不為零時的積分技巧，並結合係數的提取。對於 $\int x e^{ax} dx$，可使用分部積分法，選 $u=x$，$dv=e^{ax}dx$，得到 $\int x e^{ax} dx = \frac{x e^{ax}}{a} - \frac{1}{a} \int e^{ax} dx = \frac{x e^{ax}}{a} - \frac{1}{a^2} e^{ax} + C$。對於對數函數，$\int \ln x dx$ 可使用分部積分，選 $u=\ln x$，$dv=dx$，得到 $\int \ln x dx = x \ln x - x + C$。特別提醒在應用分部積分法時要仔細選擇 u 和 dv，以減少後續積分的複雜性。此外，理解多輪推理過程，如計算 $\int x^2 \ln x dx$，需分部積分兩次，最終得到 $\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$，並引導檢查每步驟的正確性。

1.4 基本三角積分

三角函數的基本積分技巧，包括 $\int \sin x dx = -\cos x + C$、$\int \cos x dx = \sin x + C$ 等。進一步探討平方公式，如 $\int \sin^2 x dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2} dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$，$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$。還涉及奇次三角函數，如 $\int \sin^3 x dx$ 可寫作 $\int (1-\cos^2 x) \sin x dx$，再代 $u=\cos x$，得到 $-\int (1-u^2) du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \cos^3 x/3 + C$。需理解代換法、分離項法以及平方公式在三角積分中的應用，並熟悉多步驟運算及驗證過程，減少計算錯誤。

1.5 三角積分的代換與公式

三角積分中變數代換的技巧，例如 $\int \sin^m x \cos^n x dx$，當 m 或 n 為奇數時，先分離出一個 $\sin x$ 或 $\cos x$ 作為 du，剩餘部分用平方公式 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$ 或 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ 轉換。範例 $\int \sin^3 x \cos^2 x dx$，先分離 $\sin x$，得到 $\int \sin^2 x \cos^2 x \sin x dx = \int (1-\cos^2 x) \cos^2 x (-d\cos x) = -\int (1-u^2) u^2 du = -\int (u^2-u^4) du$，最後積分得到 $-\frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C$。強調多輪推理、拆解步驟以及檢查代換正確性的方法，掌握複雜三角積分的策略。

1.6 反三角函數與不定積分

反三角函數的積分，例如 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$，$\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$。對於形式 $\int \frac{dx}{a^2+x^2}$，可使用公式 $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$。需學會將二次不可約分母化為完全平方形式，便於套用反三角公式，如 $\int \frac{dx}{x^2+2x+5} = \int \frac{dx}{(x+1)^2+2^2} = \frac{1}{2} \arctan \frac{x+1}{2} + C$。強調拆解步驟、變數代換、檢查公式應用及多輪推理的重要性，在不規則分式中正確求解不定積分。

1.7 高階指數積分

針對 $\int x^n e^{ax} dx$，選 $u=x^n$，$dv=e^{ax} dx$，分部積分 $n$ 次，最終得到 $\int x^n e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} (x^n - \frac{n}{a} x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{a^2} x^{n-2} - \cdots + (-1)^n \frac{n!}{a^n}) + C$。透過範例 $\int x^3 e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2}(x^3 - 3x^2/2 + 6x/4 - 6/8) + C$，可以理解多步拆解與多輪推理過程。常見錯誤，如忘記指數係數平方或未正確處理負號，要確保計算正確。

1.8 高階對數積分

多項式與對數函數結合的積分，如 $\int x^n \ln x dx$。採用分部積分法，選 $u=\ln x$，$dv=x^n dx$，得到 $\int x^n \ln x dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln x - \int \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$。例如 $\int x^2 \ln x dx = x^3/3 \ln x - x^3/9 + C$。強調拆解步驟、策略選擇、錯誤修正（如係數處理錯誤）。

1.9 指數對數綜合應用

結合指數、對數與多項式函數進行綜合積分練習，涵蓋多輪推理技巧。範例 $\int x e^{x} \ln x dx$，先選分部積分 $u=\ln x$, $dv=x e^x dx$，對 $dv$ 再次使用分部積分，拆解為 $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$，再代入初步公式，得到最終結果 $\int x e^x \ln x dx = (x e^x - e^x) \ln x - \int (x e^x - e^x) \cdot \frac{1}{x} dx$，需逐步計算剩餘積分，最終得到完整答案。拆解步驟、策略選擇與錯誤修正方法，確保理解複合積分的全流程。