【數學力】政治人物的形象是貝氏定理算出來的
photo cedit：馬英九總統臉書專頁 （示意圖）
某本數學科普書裡的序裡有這麼一句話：
「承認吧，大多數學工作者都不喜歡數學。」
看到這話，我在心裡無聲驚呼著。可以嗎？真的可以就這麼講出來了嗎？
我投贊成一票，我沒有那麼喜歡數學。一直提到數學，只是因為我覺得「實用」罷了。那感覺就好像漂亮學妹身旁的工具人，工具人很好用，遇到什麼問題都可以找他幫忙，但學妹是不會喜歡工具人的，從一開始就註定不‧會‧喜‧歡的。
這話不是什麼個人經驗，一般來說都是這樣的吧，真的不是個人經驗。
數學工具人幫你描述桌子
作為工具人，數學的最大用處是「讓一切變得清楚」。舉例來說，如果今天玩猜謎遊戲：朋友根據你的描述，畫出你所看到的物品。題目是下圖的桌子，請問各位會怎麼描述呢？
圖／ingimage 「長方形的桌子」、「有四隻腳」
不用通靈也可以猜到必然有些人會這麼說吧。現在，加上一個限制來提升遊戲難度：不得出現任何跟數字、幾何形狀有關的詞句。
請問各位現在該怎麼描述呢？
考慮另一個狀況，倘若往限制的反方向走去，不僅沒限制，還體貼地在圖中標示桌子長、寬、高。請問各位在描述時會加入這些數據嗎？
從這一連串的問題，我們可以看到，就算是「形容桌子」這麼簡單的一件事情，我們也無意識用上了好幾個數學知識。使用的更多，就可以描述得更清楚。
失去信任的過程
我們再看一則進階的例子，搭配稍微進階的數學——機率。這幾十年，台灣經歷了政黨輪替。我們總是對當選的政治人物寄予厚望，而他們大多也辜負了我們的期望，到後來甚至覺得失望才是正常的，於是他們好像某種程度上又符合期望了。從英明神武到過街老鼠，這些政治人物的形象究竟是怎麼轉變的，機率可以幫我們解釋清楚。
機率簡介
回答這個題目前，得先來一段機率的定義解釋：假如X跟Y是兩個事件，X是「在信義區和擦身而過的第五位OL求婚成功」，Y是「執行者是金城武」。那麼：
- P(X)：無差別求婚的成功機率。
- P(X|Y)：金城武來做無差別求婚的成功機率。暫時撇開對世界不公平的怨嘆，我們知道P(X|Y)絕對遠遠大於P(X)。P(X|Y)稱之為「條件機率」，意思是Y條件發生下，X事件的機率。跟X事件的原始機率是完全不同的。
男性讀者們擦乾眼淚，女性讀者們暫停妄想，我們繼續來檢驗政治人物的言行了。
貝氏定理
回到政治人物形象由紅翻黑的分析，我們要使用「貝氏定理」。
貝氏定理是一個非常好用的工具，概念為：我們定義A事件為「某人是政治家」，P(A)是我們認為這件事的可能性，稱為事前機率。「事前」是相對B事件還沒發生以前的看法。當B事件發生，便該根據B事件去重新修正對A的看法，得到事後機率P(A|B)。
跳過公式推導直接寫出貝氏定理如下：
舉例來說，假設今天大家對某位政治人物充滿信心，P(A)=0.8，認為他有八成的機率是政治家，只有P(Ac)=1-P(A)=0.2的機率是政客。接著，發生了一件意外，他投入過度的資源照顧傷患。我們將他一連串救災行為定義為事件B，然後重新來檢驗這位政治人物。等號右邊P(B|A)的意思是「當某人是政治家時，會過度使用資源救災的機率」，一位政治家知道手中的資源有限，永遠都該做出最正確、公平的取捨，並考量到各界。可以想見此值不高，可能P(B|A)=0.4。相反，P(B|Ac)是「當某人是政客時，會過度救災的機率」，這個值就蠻高的了。畢竟政客著重選舉，倘若過度救災能增加在特定族群的支持率，那就該做。在此假設P(B|Ac)= 0.7。
將這些數字帶入貝氏定理，可以得到：
於是，經過一次糟糕政策後，我們對政治人物的信心下降，原本認為他有80%的機率是一位政治家，現在剩70%。這次得到的事後機率，就是下一次事件發生時的事前機率。
新事件D很快就來了——官商勾結。
潔身自愛的政治家不可能跟商人勾結，圖謀百姓利益，除非發生了什麼想破頭也想不出來的理由(例如握有裸照之類的？)，合理估計P(D|A)非常低，只有0.1。但要是政客就不一樣了，官商勾結是政客的本分，他不做我們還有點納悶。因此P(D|Ac)=0.9。搭配經過救災後的政治家機率只剩P(A)=0.7，第二次貝氏定理告訴我們：
可以看見，「官商勾結」將再度重挫政治人物的信譽。就算我們之前認為這人多值得信任，但當他跟不良廠商勾結，我們便察覺不對勁，只有政客才會這樣做，政治家去查不良廠商都來不及了，哪還會讓這些紅頂商人登堂入室。於是，原本有70%機率是政治家的人，經過這次官商勾結，還是政治家的機率低到只剩21%。
這邊有個重點是，很多人會因為單一事件就斷定某人是政客或政治家。這是不正確的。貝式定律告訴我們該充分利用事前機率、條件機率，不斷修正事後機率。這一連串的推論其實正是「形象」建立的過程。人民聽其言、觀其行，經過一連串的行為，認識到一位政治人物的真面目。貝氏定理只是用數學語言，更精確描述了整個流程。
不僅可以檢驗政治人物，在愛情裡也可以派上用場。
數學真的是個不錯的工具人對吧。我提議不妨規定政治人物每年1月都參加大學學測，考不及格就要去參加補修。如果每位政治人物都能善用數學這位工具人，我想我們的政治一定會變得更好。就算沒有變好，考試跟補修過程也可以做成一套綜藝科普節目，既有不錯的收視率，又能讓民眾接觸到更多數學。
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賴以威
《聯合報》、《國語日報》、《潮人物》專欄作家。作品亦散見網路各大媒體。師大附中，台大電機博士，長庚大學助理教授。信奉數學大師約翰．馮．諾伊曼的名言：「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.」
最新著作《超展開數學教室》，散文集《再見，爸爸》，譯有《平面國》。作者個人臉書，請搜尋「賴以威」。
約翰·馮·諾伊曼(John von Neumann)
| 約翰·馮·諾伊曼 John von Neumann | |
|---|---|
 20世紀40年代的馮·諾伊曼
|
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| 出生 | 1903年12月28日 奧匈帝國布達佩斯 |
| 逝世 | 1957年2月8日（53歲） 美國華盛頓沃爾特·里德陸軍醫院 |
| 居住地 | 美國 |
| 國籍 | 匈牙利人、美國人 |
| 研究領域 | 數學、電腦科學、經濟學 |
| 任職於 | 柏林大學 普林斯頓大學 普林斯頓高等研究院 洛斯阿拉莫斯國家實驗室 |
| 母校 | 帕茨瑪尼·彼得大學 蘇黎世聯邦理工學院 |
| 博士導師 | 利波特·費耶爾 |
| 博士學生 | 唐納德·B·吉利斯 以色列·霍爾珀林 |
| 其他著名學生 | 保羅·豪爾莫什 克利福德·休·竇克爾 |
| 獲獎 | 博修紀念獎（1938年） 恩里科·費米獎（1956年） |
約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann，1903年12月28日－1957年2月8日），匈牙利語原名：Neumann János，出生於匈牙利的美國籍猶太人數學家，現代電腦創始人之一。他在電腦科學、經濟、物理學中的量子力學及幾乎所有數學領域都作過重大貢獻。
馮·諾伊曼一生中發表了大約150篇論文，其中有60篇純數學論文，20篇物理學以及60篇應用數學論文。他最後的作品是一個在醫院未完成的手稿，後來以書名《電腦與人腦》發布，表現了他生命最後時光里的興趣方向。
生平
馮·諾伊曼出生在布達佩斯一個富裕的猶太家庭，他是Neumann Miksa和Kann Margit的三個孩子中最大的一個。小時候外號「Jancsi」的他已經顯出驚人的記憶力：六歲已能用古希臘語同父親閒談，還可以心算八位數除法。年少的他不但對數學很有興趣，亦喜歡閱讀歷史、社會的書籍，讀過的書籍和論文能很快一句不漏地將內容複述出來，而且多年以後仍是如此。1913年，父親買了一個爵位，馮·諾伊曼晉身貴族，成為János von Neumann。
1926年，馮·諾伊曼以22歲的年齡獲得了布達佩斯大學數學博士學位，相繼在柏林大學和漢堡大學擔任數學講師。
1930年，馮·諾伊曼接受了普林斯頓大學客座教授的職位，初來美國時，他在紐約對當地居民表演過默記電話簿的驚人記憶力。
1931年，馮·諾伊曼成為該校終身教授。1933年轉入普林斯頓高等研究院，與愛因斯坦等人成為該院最初的四位教授之一，不須上課。這一年，他部分解決了希爾伯特第5個問題，證明了局部歐幾里得緊群是李群。1937年成為美國公民，1938年獲頒博修獎。
1954年，馮·諾伊曼任美國原子能委員會委員。1954年夏天，右肩受傷，手術時發現患有骨癌，治療期間，依然參加每週三次的原子能委員會會議，甚至美國國防部長，陸、海、空三軍參謀長聚集在病房開會。晚年，有學生請教他做事的方法，他說：「簡單」（simple）。
1957年2月8日，馮·諾伊曼在華盛頓德里醫院去世。
1994年被授予美國國家基礎科學獎。
量子力學
馮·諾伊曼認為，量子理論是普遍有效的，不僅適用於微觀粒子世界，也適用於現實的測量儀器。1932年約翰·馮·諾伊曼將量子力學的最重要的基礎嚴謹地公式化。按照諾伊曼的一個物理系統有三個主要部分：其量子態、其可觀察量和其動力學（即其發展趨勢），此外物理對稱性也是一個非常重要的特性。馮·諾伊曼的量子力學教科書《量子力學的數學基礎》首次以數理分析清晰地提出了波函數的兩類演化過程。
- 瞬時的、非連續的波函數坍縮過程
- 波函數的連續演化過程，遵循薛丁格方程式
電腦之父
1945年6月，馮·諾伊曼與戈德斯坦、勃克斯等人，聯名發表了一篇長達101頁紙的報告，即電腦史上著名的「101頁報告」，是現代電腦科學發展里程碑式的文獻。明確規定用二進制替代十進制運算，並將電腦分成五大組件，這一卓越的思想為電子電腦的邏輯結構設計奠定了基礎，已成為電腦設計的基本原則。1951年，EDVAC電腦宣告完成。由於他在電腦邏輯結構設計上的偉大貢獻，他被譽為「電腦之父」。
經濟學
在經濟學領域，1944年馮·諾伊曼與奧斯卡·摩根斯特恩合著的巨作《博弈論與經濟行為》出版，標誌著現代系統博弈理論的的初步形成。他被稱為「博弈論之父」。博弈論被認為是20世紀經濟學最偉大的成果之一。
認知與記憶能力
馮·諾伊曼有著過目不忘的記憶。 Herman Goldstine寫下：「他的一個出眾能力是他絕對精準的回憶。就我所知，馮·諾伊曼能夠僅僅讀過一次某段文字，接著一字不差的背誦出來，甚至在多年之後也可以流暢作到。他還可以將原本的語言翻譯成英語，速度絲毫不減。有一次我想測試他的能力於是問他雙城記是如何開始的。接著他沒有任何停頓，他立即背誦起第一章，一直到十分鐘後我要他停止才停止。」
私人生活
馮·諾伊曼有著廣泛的文化興趣。六歲時，他能流利的使用拉丁文和古希臘文，他對古代歷史抱著終身的熱情，並且以驚人的歷史知識聞名。有一個拜占庭史學家曾經說馮·諾伊曼對拜占庭史所知比他自己還專業。
他善於社交，在他的第一個婚姻中，他喜歡在他家舉辦大型派對，時常一周兩次。他的房子是普林斯頓中最大的一個。
馮·諾伊曼在美國交情最深厚的朋友是斯塔尼斯拉夫·烏拉姆。烏拉姆的朋友技安卡羅羅塔寫道「他們會花好幾個小時談笑聊八卦，交換猶太笑話，時常在其中穿插數學話題。」當馮·諾伊曼在醫院接近死亡時，每次烏拉姆拜訪時都會準備一套新的笑話，希望馮·諾伊曼可以高興起來。
名言
- 「若人們不相信數學簡單，只因他們未意識到生命之複雜。」[1]
- 當一門數學學科遠離它的經驗來源，或者甚至它只是由來自「實際」的思想間接激發產生的第二代和第三代，這門學科就危機四伏了。它會越來越走向純美學化，越來越純粹地為藝術而藝術......現在有一種巨大的危險:這門學科將沿著那條阻力最小的路線發展......將會分崩離析，成為許多無足輕重的分支......無論如何，我覺得唯一的補救辦法就是恢復到青春回到起源，重新注入多少是直接經驗的思想。
獎項
有兩個獎項以他為名：
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