Q:

三正整數最小公倍數為400,共有幾種可能?

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因為題目沒說要分x,y,z(要求分的話會比較容易),然後又可以允許相同(規定一定不同會更簡單), 所以就三個數型態分為皆不同,2同1異,3同

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在做之前，要先知道題目已知給我們的限制,就是將400質因數分解: 2^4 x 5^2

若三數最大公因數為400,表示各質數最高次方一定要集中在某個數字

算法是利用排容，先算出所有可能，再扣除不合的

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開始分別計數:

400的正因數共有(4+1)(2+1)=15個

其中2沒有包含最高次方(4)的正因數有(3+1)(2+1)=12個

5沒有包含最高次方(2)的正因數有(4+1)(1+1)=10個

兩者皆不包含最高次方的正因數有(3+1)(1+1)=8個

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三者皆異:

C(15,3) - C(12,3) - C(10,3) + C(8,3) = 171

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2同1異:

2x[C(15,2) - C(12,2) - C(10,2) + C(8,2)] = 44

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三同:

就只有(400,400,400)一種

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所以共有171 + 44 + 1 = 216種

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400可以改成有更多質因數的數字

不過如果是改成n個正整數的最小公倍數的話,情形會複雜滿多(尤其n不小的時候)