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正三角形的三角不等式(改編題)
2009/07/03 12:29
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Q:
正三角形ABC,P為平面ABC上的任一點,但異於A,B,C, 試證: AP + BP ≧ CP
並求等號成立時,P的位置
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之前看過是P在三角形內的, 不過後來發現其實P在三角形外也行!
其實不會說非常難, 多畫幾張圖, 轉轉看就行了
迴響（3） ：
3樓. 時和2009/07/09 11:08Got It
清楚
^^"
都都 於 2009/07/09 11:23回覆-
2樓. 時和2009/07/08 15:17高手太高了
請稍為解釋ㄧ下 如何得到根號3*PA = EF?
假設P 對BC對稱點為D, 對AC對稱點為E, 對AB對稱點為F,
先畫P在內部圖比較好看(外部也是成立的)
我用其中一個說明, 由對稱
AP=AE,AP=AF,且角EAF=120度
所以可得EF = 根號3AP
都都 於 2009/07/08 21:11回覆 
1樓. 陳2009/07/06 16:05陳
將P對三邊分別做對稱點,得三點分別為D,E,F,由餘弦定理不難算出DE,EF,FD分別為根號3*PA,根號3*PB,根號3*PC,因為DEF構成三角形(或DEF三點共線),所以PA+PB大於或等於PC,而等號成立在DEF三點共線,由幾何上有名的西姆松定理可證出此時P在正三角形之外接圓上.
西姆松定理:三角形外接圓上任一點對三角形三邊做投影點,其三投影點必共線.
