分數的分子分母同時各自加一，會有什麼樣的變化呢？

(一)分數可分為三種，一種小於一，一種等於一，一種大於一。

小於一的為真分數，如1/3。等於一跟大於一都是假分數，等於一的如2/2,7/7，大於一的如3/2,9/7。以下分別討論。

(1)真分數的分子分母各自加一，會越來越大，但是不會大於或等於1。

以1/5(五分之一)為例，1/5,2/6,3/7,4/8....10001/10005....

推導結果是越來越大沒錯，可是有辦法證明嗎？

有個簡單的辦法，將分數用減法算式表示。

 1/5=1-4/5,

2/6=1-4/6,

3/7=1-4/7,

4/8=1-4/8....

10001/10005=1-4/1005....

可以觀察到所減的分數，其分子不變，但是分母越來越大。

也就是所減的分數會越來越小，也就是其結果會越來越大。

但是由於是1減去某個真分數，所以不會大於或是等於1。

(2)等於一的假分數，分子分母各自加一，仍然還是等於一。

(3)大於一的假分數，分子分母各自加一，會越來越小，但是依舊大於一。

假分數如，4/3的分子分母各自加一，5/4,6/5,7/6,8/7....10004/10003...

一樣可以用其他式子來代替觀察的分數。

5/4=1+1/4,

6/5=1+1/5,

7/6=1+1/6,

8/7=1+1/7,......

10004/10003=1+1/10003......

可以觀察到所加的分數，分子不變，分母越來越大，也就是所加的分數越來越小，於是其結果是數值越來越小。

(二)繼續推導。用代數來表示。

由於內容差不多，只以真分數為例。

b/a(b<a)

b/a=1-(a-b)/a

b+1/a+1=1-(a-b)/(a+1)

b+2/a+2=1-(a-b)/(a+2)

b+n/a+n=1-(a-b)/(a+n)(n為正整數)

(a-b)/(a+n)的分子由於(b<a)為正數，分母(a+n)隨著n變大而越來越大，於是(a-b)/(a+n)會越來越小，所以b+n/a+n=1-(a-b)/(a+n)會越來越大。

(三)如何得知何時分數會大於某個數值？

舉例來說，1/7要分子分母個加多少才會大於1/2。

直接計算的話如下：

1+n/7+n>1/2 將其乘開，得

2+2n>7+n

n>5

驗算一下，n=5時，1/7會變成1+5/7+5=6/12=1/2

一樣是用代數繼續推演。

b/a 分子分母同時加上 n 會大於 t/s。(s>t,t>b且a>s這是為了確保t/s大於b/a)

b+n/a+n>t/s

sb+sn>ta+tn

(s-t)n>ta-sb(由於(s>t,t>b且a>s)

n>(ta-sb)/(s-t)

再繼續推導，某分數b/a的分子分母持續各自加一，是否可能等於某分數t/s？

也就是上面不等式 n>(ta-sb)/(s-t) 改成等式 n=(ta-sb)/(s-t)

由於n是正整數，所以(ta-sb)/(s-t)為正整數，

也就是分子(ta-sb)要是(s-t)的倍數的情況，才可以讓b/a的分子分母持續各自加一下，可以等於某分數t/s。

歡迎討論指教。

分子分母各加一的情況下，1/3雖然不能變成2/3，但是可以變成4/6。

有點麻煩，先放著好了。