答案是虛數，如果您想歪了，請不要承認～

要如何跟高中學生講『虛數不能比大小』這件事，跟他說背起來嗎？

還是根本不要提？那～如果學生硬要問怎麼辦哩？

在回答這問題之前～

我們先來看看歷史上有哪些的大數學家對虛數這東西頭疼過

虛數最初是在解二次方程的過程中出現的。1484年，法國人舒開在《算術三篇》中，解二次方程4+x2=3x，得根，他聲明這根是不可能的。

1545年，義大利數學家卡丹第一個認真地討論虛數，並給出運算的方法。在《大術》中，他解這樣的問題：兩數的和是10，積是40，求這兩數。

用現代的符號，可列成方程

x(10- x)=40, x2-10 x +40=0,

得到兩個根5+, 5-卡丹覺得奇怪，負數怎樣開平方?他稱負數的平方根爲“詭辯量”，並懷疑這種數的運算合法性。他說：“不管我的良心受到多大的責備，但是，的的確確5+乘5-剛好等於40!”。

過了將近一百年，解析幾何的創始人笛卡兒在《幾何學》中第一次給這種“詭辯量”取了一名字叫“虛數”(和“實數”相對)。他認爲這種根不是實在的，而是虛的。

英國大科學家牛頓也並不認爲虛數根是有意義的，這很可能是由於它們缺乏物理意義。

德國數學家萊布尼茨雖在形式運算中使用虛數，但並不理解虛數的性質。他說：“聖靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想的端兆，那個介於存在與不存在之間的兩栖怪物，那個我們稱爲虛的-1的平方根。”把虛數看作“兩栖怪物”，添上神秘色彩。

直到18世紀，瑞士大數學家歐拉還是說這種數隻存在於“幻想之中”。1777年，他在遞交給彼得堡科學院的論文《微分公式》中首次使用i表示，但很少有人注意它，直到1801年，德國大數學家高斯系統地使用這個符號，以後漸漸通行於全世界。

ＳＯ～是高斯解決的，那高斯是怎麼解決的呢？

原來，高斯把狄卡爾座標系統的X軸改成了實軸，Ｙ軸改成了虛軸

天阿～如此巧妙的一步，不僅賦予了複數幾何意義

更能讓人一目了然的清楚，為何虛數不能比大小

原來，實數軸以外的複數都是複數平面上的一個點

所以，當然不能比較大小．（點沒有大小之分．）

當然，高斯平面的貢獻不只如此，高斯平面還能轉換成極座標形式

以三角函數的形式來表示複數，不過這是題外話了！

話說回來，那比長短又是怎麼回事？

在回答這個問題之前，我們先來看看實數是怎麼比長短的？

實數的長短，可以定義為實數跟原點的距離，也就是實數的絕對值

套用這個觀念，複數也可以比長短

複數跟原點的距離，也就是複數的絕對值．

這樣就可以一較長短囉！^ ^