趣味數學：最佳漸近分數
2008/05/06 13:07
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題目：哪兩個三位數相除，它的值最接近０.３９５６
作者: 謝新傳 老師
３９５６ ９８９
∵０.３９５６＝－－－－－＝－－－－
１００００ ２５００
輾轉相除法
｜２５００｜ ９８９｜
２｜１９７８｜ ５２２｜ １
｜＿＿＿＿｜＿＿＿＿｜
｜ ５２２｜ ４６７｜
１｜ ４６７｜ ４４０｜ ８
｜＿＿＿＿｜＿＿＿＿｜
｜ ５５｜ ２７｜
２｜ ５４｜ ２７｜２７
｜＿＿＿＿｜＿＿＿＿｜
｜ １｜ ０｜
∴０．３９５６＝連分數［０，２，１，１，８，２，２７］
那最佳漸近分數該是＝連分數［０，２，１，１，８，２，Ｘ］
０ ２ １ １ ８ ２ ２６
分子 ０ １ １ ２ １７ ３６ ９５３
分母 １ ２ ３ ５ ４３ ９１ ２４０９（４位數）
３６ １０８ １４４ １８０ ２１６
Ａｎｓ：－－ ＝ －－－ ＝ －－－ ＝ －－－ ＝ －－－
９１ ２７３ ３６４ ４５５ ５４６
２５２ １４４ ２８８ ３６０
＝－－－ ＝ －－－ ＝ －－－ ＝ －－－ 均可．
６３７ ７２８ ８１９ ９１０
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迴響（6） ：
6樓. 時和2008/05/09 16:07謝謝 梅斯大俠
的好題目
題目不是我出的
是謝新傳老師
梅斯普雷爾 於 2008/05/09 22:08回覆-
5樓. 時和2008/05/09 16:03證明 an optimal solution 的方向
>> ０．３９５６＝連分數［０，２，１，１，８，２，２７］
>> 那最佳漸近分數該是＝連分數［０，２，１，１，８，２，Ｘ］
假如 value (0.3956) = [a1, a2, ..., a(i-1) ai, ..., a(k-1), ak],
要證 [a1, a2, a3, a4, ..., a(i-1), bi, .....] 不是 an optimal solution,
for 1 <= i <= k-1.
等小弟消化一下喔！ 梅斯普雷爾 於 2008/05/09 22:07回覆 -
4樓. 時和2008/05/09 15:44方向是對了，但是要再細膩一點
>> ０．３９５６＝連分數［０，２，１，１，８，２，２７］
>> 那最佳漸近分數該是＝ 連分數［０，２，１，１，８，２，Ｘ］
將 連分數［０，２，１，１，８，２，Ｘ］展開 = (36X + 17) / (91X + 43),
for 1 <= X <= infinite
可得出 ［０，２，１，１，８，２，1］ < ［０，２，１，１，８，２，2］ <
［０，２，１，１，８，２，3］ < ....... < ［０，２，１，１，８，２，infinite］ <
36/91
While requiring both numerator and denominator <= 1500,
when X = 16, 576/1499 is the closest one w.r.t. 0.3956.
呵呵！多謝前輩指點．
梅斯普雷爾 於 2008/05/09 22:06回覆
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3樓. 時和2008/05/09 08:19能否解出這類似的題目？
相同的題目，但是分子與分母均小於 1500？
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看了證明，但是感覺梅斯大俠沒把連分數的意境搞懂？因此出上面的題目，讓梅斯大俠解饞一下。
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2樓. 時和2008/05/07 18:03謝謝 梅斯 大俠
這真是個好題目！
請問能證明出是 最佳化 嗎？
可以．給我點時間，我明天在弄，睏了．晚安！
梅斯普雷爾 於 2008/05/08 02:13回覆
梅斯普雷爾 於 2008/05/08 15:25回覆 -
1樓. 時和2008/05/07 08:21連分數 是什麼意思？
連分數［０，２，１，１，８，２，２７］?
