威妮登永恆愛戀腕錶



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標題:

一元三次方程式問題(可能是根與係數)

發問:

若 x^3+3x^2-6x+k=0 三個根成等差數列，則k值是多少? 解答 k=- 8

最佳解答:

設三根為a-d,a,a+d 依根與係數的關係 (a-d)+a+(a+d)=-3---------------第1式 (a-d)a+a(a+d)+(a-d)(a+d)=-6-------第2式 (a-d)a(a+d)=-k---------------------第3式 由第1式 => a=-1 代入2式 => -1(-1-d)-1(-1+d)+(-1-d)(-1+d)=-6 1+d+1-d+1-d^2=-6 d^2=9 d=3,-3 所以三根為-4,-1,2或2,-1,-4 而三根乘積為8=-k 所以k=-8

其他解答:

把雯和快意的解法綜合： 設三根為a-d,a,a+d 依根與係數的關係 (a-d)+a+(a+d)=-3 => a=-1 x = a= -1 代入原方程式 => -1+3+6+k=0 => k= -8|||||假設3根為a<=b<=c(<=表示小於或等於)，則 x^3+3x^2-6x+k=0→(x-a)(x-b)(x-c)=0→比較x^2項的係數 3=-a-b-c=-(a+b+c)----(1) 因為a,b,c成等差,所以a+c=2b (1)式變成3=-3b→b=-1,也就是-1是其中一根,將-1代入求k (-1)^3+3*(-1)^2-6*(-1)+k=0→k=-87E22ACB0F718CF83