DSE 等比數列
2017/06/24 21:31
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DSE 等比數列
圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA07492551/o/701204230047113873398331.jpg T hank you 更新: 打少左題 47. 已知某個相異項的等差數列，其第1項、第3項、第7項組成一個等比數列，該三項之和為28。求 a)該3項 b)該等差數列的公差 c)該等比數列的公比 thank you :)
最佳解答:
24a)設首項 = a , 公比 = r , 因無限項之和為定值 , |r| < 1無限項之和 = a / (1 - r) 是首項之 6 倍 :得 a / (1 - r) = 6a , 1 / (1 - r) = 6 1 = 6 - 6r 公比 r = 5/6 b)奇數項首項 = 18 奇數項公比 = r2 = 25/36奇數項無限項之和 = 18 / (1 - 25/36) = 18 / (11/36) = 648/11 30)設首項 = a , 公比 = r , 因無限項之和為定值 , |r| < 1無限項之和 = a + ar + ar2 + ... = a / (1 - r) = 18 ..... (1)各項平方的無限項之和 = a2 + a2r2 + a2r?+ ... = a2 / (1 - r2) = 162 ..... (2)由(1) , a = 18(1 - r) , 代入(2) :182(1 - r)2 / (1 - r2) = 162 324(1 - r) / (1 + r) = 162324 - 324r = 162 + 162r公比 r = 1/3首項 a = 18(1 - 1/3) = 12 47) 解法一 :設第1項 = a , 第3項 = ar , 第7項 = ar2則公差 = (ar - a) / 2 或 (ar2 - ar) / 4 故 (ar - a) / 2 = (ar2 - ar) / 4 2(r - 1) = r2 - r (r - 1) (r - 2) = 0 r = 1 (捨) 或 r = 2該三項之和 : a + ar + ar2 = 28 a + 2a + 4a = 28 第1項 a = 4 第3項 ar = 4 * 2 = 8 第7項 ar2 = 4 * 22 = 16 b)由 a) , 公差 = (ar - a) / 2 = (8 - 4) / 2 = 2 c)公比 = r = 2 解法二 :a)設首項 = a , 公差 = d , 第1項、第3項、第7項成等比數列 : a , a + 2d , a + 6d 成等比數列 得 a(a + 6d) = (a + 2d)2 a2 + 6ad = a2 + 4ad + 4d2 2ad = 4d2 a = 2d ..... (1)該三項之和為28 : 得 a + a+2d + a+6d = 28 3a + 8d = 28 ..... (2)代(1)入(2) , 3(2d) + 8d = 28 d = 2 a = 2*2 = 4第1項 = a = 4 第3項 = a + 2d = 4 + 2*2 = 8 第7項 = a + 6d = 4 + 6*2 = 16 b)公差 = d = 2 c)公比 = 第3項 / 第1項 = 8/4 = 2
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發問:圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA07492551/o/701204230047113873398331.jpg T hank you 更新: 打少左題 47. 已知某個相異項的等差數列，其第1項、第3項、第7項組成一個等比數列，該三項之和為28。求 a)該3項 b)該等差數列的公差 c)該等比數列的公比 thank you :)
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24a)設首項 = a , 公比 = r , 因無限項之和為定值 , |r| < 1無限項之和 = a / (1 - r) 是首項之 6 倍 :得 a / (1 - r) = 6a , 1 / (1 - r) = 6 1 = 6 - 6r 公比 r = 5/6 b)奇數項首項 = 18 奇數項公比 = r2 = 25/36奇數項無限項之和 = 18 / (1 - 25/36) = 18 / (11/36) = 648/11 30)設首項 = a , 公比 = r , 因無限項之和為定值 , |r| < 1無限項之和 = a + ar + ar2 + ... = a / (1 - r) = 18 ..... (1)各項平方的無限項之和 = a2 + a2r2 + a2r?+ ... = a2 / (1 - r2) = 162 ..... (2)由(1) , a = 18(1 - r) , 代入(2) :182(1 - r)2 / (1 - r2) = 162 324(1 - r) / (1 + r) = 162324 - 324r = 162 + 162r公比 r = 1/3首項 a = 18(1 - 1/3) = 12 47) 解法一 :設第1項 = a , 第3項 = ar , 第7項 = ar2則公差 = (ar - a) / 2 或 (ar2 - ar) / 4 故 (ar - a) / 2 = (ar2 - ar) / 4 2(r - 1) = r2 - r (r - 1) (r - 2) = 0 r = 1 (捨) 或 r = 2該三項之和 : a + ar + ar2 = 28 a + 2a + 4a = 28 第1項 a = 4 第3項 ar = 4 * 2 = 8 第7項 ar2 = 4 * 22 = 16 b)由 a) , 公差 = (ar - a) / 2 = (8 - 4) / 2 = 2 c)公比 = r = 2 解法二 :a)設首項 = a , 公差 = d , 第1項、第3項、第7項成等比數列 : a , a + 2d , a + 6d 成等比數列 得 a(a + 6d) = (a + 2d)2 a2 + 6ad = a2 + 4ad + 4d2 2ad = 4d2 a = 2d ..... (1)該三項之和為28 : 得 a + a+2d + a+6d = 28 3a + 8d = 28 ..... (2)代(1)入(2) , 3(2d) + 8d = 28 d = 2 a = 2*2 = 4第1項 = a = 4 第3項 = a + 2d = 4 + 2*2 = 8 第7項 = a + 6d = 4 + 6*2 = 16 b)公差 = d = 2 c)公比 = 第3項 / 第1項 = 8/4 = 2
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