在高中參考書一定可以找到類似這種題目....
Q: x為正整數, 且根號(x^2 + 6x + 25) = 正整數 , 求x =?
這是一題基本題, 平方差後, 解聯立即得解....
不過我發現一個小問題...............
如果根號裡面的x^2之係數不是完全平方數, 那麼題目會變成難題(?)
例如:
Q: x為正整數, 且根號(5x^2 + 2x + 1) = 正整數 , 求x =?
這題就不能用平方差得解了, 我也試過了利用畢氏三元數去解, 也解不太出來的樣子 , 所以目前我是無能為力啦XD...(我們老師也解不出來)
不過這種題目是有解的喔, 簡單代一下就可以知道x = 2,是符合題意的.
但是如何確定只有這組解呢? 或者有無限多組解 ? 有限多組解 ?
歡迎各位試試看唄^^,有成果記得要跟我分享,呵呵
5樓. 陳2009/08/05 14:12陳
此題終於解決,的確具有無限多正整數x使得x^2=5n^2+4,這是我十多年前讀過的東西,不過我竟然忘了(人老了記憶力會衰退是真的),上述方程移項得x^2-5n^2=4求正整數解的問題,此為著名的數論題目,名為"佩爾方程",其解的特性已經由大數學家歐拉徹底解決,而且已求得簡化求解之公式,甚至連通式都解決了.可先令x=2t,n=2s代回得t^2-5s^2=1,此即為標準佩爾方程,根據歐拉的推導可得知無限多組解,不過有點長,你可先於網站上搜尋一下相關資料參考.佩爾方程....聽過!@@
之前高一有買過數論的書...不過後來發現看得太吃力- -a索性放著沒看了...XD...那本書好像有介紹吧
怎麼又是歐拉解決的= =...
總之還是謝謝彬哥啦...至少這題已經不是未解決了....(不過對我來說確實是未解決XD)
都都 於 2009/08/05 20:14回覆-
4樓. 陳2009/02/18 15:54高一數論題
我計算出除了x=2之外,尚有x=15,104,714,4895等等之解,我猜測應有無限多組解,以下是我的一點小成果,不過此題還未完全解出,有待努力中:令5x^2+2x+1=p^2,可得(x+1)^2+(2x)^2=p^2,此式極像商高定理,且確定x+1為最小邊,故我從商高數下手:可令其中一種情形為m^2-n^2=x+1,2mn=2x,此聯立方程式中將x取代掉可得m^2-n^2=mn+1,分解得(2m-n)^2=5n^2+4,此式當然須m>n,且仔細觀察其等式若右式為完全平方數(n需正整數),則m,n必有正整數解(可由n為奇數,偶數說明),接著僅需找n使得5n^2+4為完全平方數即可,我開始嘗試,得出n=1,3,8,21,55皆為完全平方數,代回時可求出對應的m值,再利用x=mn求出我一開始列出之x=15,104,714,4895(n=1則對應求出x=2),至此,我將此題轉換成"有無限多個完全平方數具有5n^2+4型態."若此猜測成立,則保證此題無限多組解(p.s.:最後一個n=55是由計算機幫我完成的,數字太大已經做到快暴斃了!)@@真是辛苦你了!
其實畢氏三元數的方法我也有嘗試,但是 後來好像都會回到 類似的窘境
我將此題轉換成"有無限多個完全平方數具有5n^2+4型態."但是 這個問題其實就是這種題型無法用一般高一解法去做的原因
所以到最後雖然將式子簡化了,但是核心還是不變的(其實之前這題我解好久...用過很多方法,到最後好像都會回到那裏.....主要原因是那個"5")
我猜 這種題目應該已經不是高中所教的數論可以處理的@@,可能會用到大學的一些定理吧! 我有看過一些課外介紹數論的書, 不過.....好難= =所以最後放棄了XD....
斌哥如果你有興趣的話可以再試試看!
都都 於 2009/02/18 20:05回覆 
3樓. 時和2008/07/17 11:31在第一題中要求 x為正整數
答案是無解？
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2樓. 阿宇2008/07/11 23:14不懂
第一題：(x + 3)^2 + 4^2 是平方數
然後怎麼解？
第二題：5 ((x + 1/5)^2 + 4/25) 是平方數
==> (x + 1/5)^2 + 4/25 = 5 k^2
為什麼不是1/5 k^2
第一題:
令(x + 3)^2 + 4^2 = t^2
移項16 = t^2 - (x+3)^2 = (t+x+3)(t-x-3)
在將16分解 = 1*16 = 2*8 = 4*4
看看哪組解聯立後,x,t都會是正整數
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第二題:
因為 5 ((x + 1/5)^2 + 4/25) 是一個正整數且是五的倍數且為平方數,不妨令為25k^2
所以 25 ((x + 1/5)^2 + 4/25) = 125k^2
都都 於 2008/07/14 17:36回覆 -
1樓. 時和2008/07/11 11:52125k^2 - 4 是平方數
第一題：(x + 3)^2 + 4^2 是平方數
第二題：5 ((x + 1/5)^2 + 4/25) 是平方數
==> (x + 1/5)^2 + 4/25 = 5 k^2
==> 125 k^2 - 4 = 25 (x + 1/5)^2 是平方數
目前只知道當 k = 1 時，x = 2 是一組解。
