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二專〈一年級的微積分〉

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>今天上課上微積分好難懂上第一章是常見的函數，請問有人知道函數的問題嗎。 更新: 我想請問一下喔公式是怎麼用法還有雖然不是好看但裡面圖解我不懂請幫忙為什麼那2題不是函數只有第一題好難懂 更新 2: 怎麼辦不能把檔案放在裡面 更新 3: C:\Documents and Settings\user\桌面\微積分.doc好了可以用不知道可不可試試看吧 更新 4: 要放在網址這是超連結 更新 5: 怎麼辦要怎麼把算式放在去不然不知怎麼說 更新 6: 恩恩謝謝你喔我可以參考參考

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http://content.edu.tw/junior/math/ch_yl/content/math4_1.html 函數觀念的演變史 文藝復興以後，西方的科學觀，可以 Galileo Galilei（1564～1642年）的看法為代表。他認為大自然是依數學方式建構的，人只要掌握各種現象的基本數學關係，就可以靠數學加以推演。將自然科學數量化，尋求其間的數學關係並加以推演，就成了研究自然科學的新方法。科學革命對數學的影響之一就是促使函數觀念漸趨成熟；當然，函數觀念的成熟也使科學研究帶來許多方便。 Galilei 研究落體運動，發現「物體在空中下降的距離（從靜止開始計算）與所經過時間的平方成正比」、「物體從高度固定的斜板滑落所需的時間與斜板的長度成正比」。也就是說他發現了距離與時間或時間與長度之間的數學關係。距離隨時間而變或時間隨長度而變，用現在的說法就是：距離是時間的函數或時間是長度的函數。研究運動也引出更多的曲線──點動成曲線，而曲線和函數之間，也經由解析幾何的引入，變得不可分離。 用坐標的方法研究曲線，就是把曲線以 x、y 的關係式表示，然後用代數的方法加以處理。反過來，如果採取 Fermat 式的解析幾何觀，從任何一個 x、y 的關係式出發，探討它所代表的曲線的幾何性質，那麼函數觀念的重要性更顯而易見了，因為 x、y 之間的關係常以函數的方法出現。 函數到底是什麼呢？最早的想法認為：一個函數是一個代數式子，只含變數以及加減乘除開方等符號，漸漸地，所謂超越（代數的）函數，如 、、ax 等等地加了進來，加上種種曲線的研究，現在所謂的初等函數，在十八世紀上半葉就已經非常清楚了。 了求得一個函數的導數，Newton（1642～1727年）儘量把函數寫成冪級數，譬如，為了求得 （α 為實數）的導函數，Newton 利用 的冪級數 而得 因此當 h 趨近於 0 時，就得 到了十八世紀，數學家乾脆認定函數就是冪級數。譬如 則 因此當 x 趨近於 0 時，就得 f'(x0) = a1。由此可以導出：一個函數（冪級數）各項的微分和就是原函數的微分；反過來，一個函數各項的積分和就是原函數的積分。這麼一來，函數的微積分變得非常簡單；當然他們忽略了冪級數的收斂問題。 「函數就是冪級數」是十八世紀眾所公認的觀念，但波動問題的興起，使得這種觀念不時遭到挑戰，迫使 Euler（1707～1783年）也承認：最先開始時，弦所成的曲線 y=f(x) 可以是任意的，只要是連續的，但不一定可以用冪級數來表示。到了 Fourier（1768～1830年）研究熱傳導時，他發現他必須把初期條件函數 f(x) 以三角級數的方式展開： 而根據傳統的做法，他原假定 f(x) 為冪級數才能得到這樣的表示法，但他注意到an、bn 只不過是函數 的曲線之下的面積而已，所以不管 y=f(x) 是怎樣的曲線，an、bn 都可以計算而得。他試了種種的函數 f(x)，求取頭幾個 an、bn 的值，發現將由此而得的三角級數頭幾項和所代表的曲線與原來的曲線 y=f(x) 相比較，都相當接近。所以 Fourier 深信「任何」函數 f(x) 都可以表成三角級數之和。 三角級數的興起引起了函數觀念的再檢討。譬如在 中，若 y = f(x) = x，那麼 f(x) 的三角級數表示式，因周期性的關係，會將 區間內的曲線，在區間外一再重複，如圖一所示。也就是說，由許多斷線所組成的圖形居然可以用一級數來表！既然如此，圖一也可以當做一個函數 g(x)，雖然用簡單的式子來表時，它需要分段處理： 若 x 在 之內，則 推而廣之，可以分段用熟知的式子表示者也可以看成函數，在十八世紀時很少人會有這樣的認識。 Fourier 宣稱「任何」函數都可以表成三角級數之和的看法更值得檢討，因為到底什麼是函數，Fourier 也說不清楚。函數觀念的澄清是 Dirichlet（1805～1859年）研究 Fourier 論之後的重要貢獻之一。他認為 y=f(x) 是個函數的意思是說：f 是一個規則，它告訴我們說，變數 x 之值固定了，其相應唯一的 y 值是什麼。f 不一定要是個式子，它只要能說清楚 x 到 y 之間的對應是什麼就好了。有了 Dirichlet 的函數觀念，數學家才能談什麼時候 an、bn 之值可以確定，什麼相對應的三角級數在特定的區間內和原來的函數是一致的。 雖然 Dirichlet 有了函數最一般的定義，通常我們總希望用式子來表示一個函數所提供的規則。但什麼是式子呢？譬如，我們都承認 f(x)=x2+x+1 是個式子；其實它代表一段敘述，告訴我們函數對應的規則：把變數 x 自乘，加上變數本身，再加上 1，就是變數對應的 y 值。只因我們太習慣多項式所代表的意義，所以認為它是個式子，而不認為它代表的是一段敘述。再如 也是一樣，初學的人認為它代表一段敘述，但習焉不察後就成了式子。f(x) = [x] 代表不超過 x 的最大整數，更是一個明顯的例子。除了多項式、冪級數、三角級數外，更一般的函數項級數，譬如以 Bessel 函數或 Legendre 多項式為通項的級數，都可以看成式子。 除了「明」的式子外，還有些「暗」的式子。暗的式子指的是以參數函數、隱函數、微分方程式、積分方程式等來表示自變數 x 與他變數 y 之間的數學關係。怎樣化暗為明自然是最重要的課題之一。 式子之外，函數最常以曲線的形式出現。當然，每當有曲線出現，數學家總是想辦法把它量化，以式子的形式表示，好方便研究。譬如行星運行的軌道，是個橢圓其（隱）函數為 。譬如兩電線桿之間的電線所成的曲線（見圖二），稱為懸垂線。我們發現物理的觀點，坐標之間的關係可以用微分方程式表示；解了此方程式，就得懸垂線的函數為 又譬如小提琴聲波呈現規則而複雜的形狀.它可以表成一三角級數。 當然並不是每條曲線都能找到適當的式子。譬如如某地的氣溫變化曲線，患病者的腦波等等這些太不規則的曲線恐怕就很難用式子表示。 Dirichlet 曾經考慮過有理數的特徵函數，它在有理數時取值為 1，否則為 0。這樣的函數根本無法用圖形來表示。 Weierstrass（1815～1897年）曾經提出一個級數函數 它是個連續的，但到處不可微分的函數。用曲線的觀點來看，它是個連續不斷，一整條的，但又到處沒有切線的曲線。這樣的曲線是用圖畫不出來的。別以為這是古怪的曲線，Wiener（18944～1964年）證明：幾乎所有的分子的 Brown 運動的路徑都是連續而到處沒有切線的。 Dirichlet 的函數觀不但包含已往種種的函數，提供了許許多多新鮮有趣、有用的例子，而且也因為函數觀念的確定，使得數學家能夠討論函數的連續、微分、積分等種種有關的性質。經過幾世紀的發展，函數成為數學中最基本的觀念之一，同時也是科學數量化的主要工具。 如果您還需要解答 我想需要您給題目吧~! 在下願為您做解答~! 在下是數學系的學生 2005-09-12 09:37:50 補充： 說我嗎?? sugo_saga_sin@yahoo.com.tw 資料怎麼找喔? 1. 搜尋 2. 翻原文書 3. 找教授啊~!

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微積分光是看課本學習， 成效真的很有限 像是勝考力的微積分教材，拍攝老師的教課課程 在家裡學習，不管學校老師用原文書也好，上課聽不懂也好 只要回到家就可以自己重新開始 真的很不錯!|||||請問方便給我信箱嗎?? 想問你一些數學題!|||||請問一下你是怎麼找到這些資料043AC115BBE49348