標題:

請問sech(x)與csch(x)的反函數導法?

發問:

請問sech(x)與csch(x)的"反函數"導法，注意是雙曲函數 並非三角函數 導推過程中若有正負值或絕對值出現，希望能說明為什麼取正(負)其中之ㄧ或為何有絕對值， 找好久了都找不到， 感謝回答~ 更新: 請問您的意思是說sechx的反函數 1+-(1-y^2)^(1/2) +-都合嗎?? 因為我手邊的教科書上是取+ 謝謝 更新 2: "其中x屬於R" 不就代表+-都可取了嗎? 更新 3: ye^(2x)-2e^x+y=0 e^x=(1/y)[1+-(1-y^2)^(1/2)] 不知道這邊你怎麼導推的呢?? 謝謝

最佳解答:

sech(x): sech(x)定義為1/cosh(x)=2/[e^x+e^(-x)] 且y=sech(x)在區間(0, 1] 它符合sech(x)=sech(-x), 其中x屬於R 因此計算反函數要分開定義域 先從y=sech(x)=2/[e^x+e^(-x)]推導 ye^x+ye^(-x)=2 ye^(2x)-2e^x+y=0 e^x=(1/y)[1+-(1-y^2)^(1/2)] x=ln{(1/y)[1+-(1-y^2)^(1/2)]} 且1+-(1-y^2)^(1/2)與1間的關係決定x正或負 (1) 若定義域為x>=0 則x=ln{(1/y)[1+(1-y^2)^(1/2)]} 從正負中選擇正為得x>=0 (2) 若定義域為x<0 則x=ln{(1/y)[1-(1-y^2)^(1/2)]} 因為y屬於(0, 1], 所以0<=1-y^2<1且0<1-(1-y^2)^(1/2)<=1 因此選擇負則x<0 csch(x): csch(x)定義為1/sinh(x)=2/[e^x-e^(-x)] 且y=csch(x)在整條y軸上去除y=0 (表示成R^*) 它符合csch(x)=-csch(-x), 其中x屬於R^* 因此不必拆開定義域，從y=csch(x)直接推導 y=csch(x)=2/[e^x-e^(-x)] ye^x-ye^(-x)=2 ye^(2x)-2e^x-y=0 e^x=(1/y)[1+-(1+y^2)^(1/2)] x=ln{(1/y)[1+-(1+y^2)^(1/2)]} (1) 考慮y>0 (1/y)+[(1-y^2)^(1/2)]/y才符合ln的定義域 (2) 考慮y<0 (1/y)-[(1-y^2)^(1/2)]/y才符合ln的定義域 統整以上兩式，得(1/y)+|1/y|[(1+y^2)^(1/2)] 因此把+-變絕對值，x=ln{(1/y)+|1/y|[(1+y^2)^(1/2)]} 希望以上回答對您有幫助~ 2011-07-09 17:52:42 補充： 首先，1+-(1-y^2)^(1/2)選哪邊要看定義域 教科書選+會讓得出x都是正 但sech(x)兩邊對稱，所以還是要考慮負 它就像這例：y=f(x)=x^2 f^-1(x)={y^(1/2), x>=0; -y^(1/2), x<0} 2011-07-09 17:55:26 補充： 抱歉剛才筆誤，f^-1(y) 另外e^x那邊使用二次方程式公式解 y(e^x)^2-2(e^x)+y, a=y, b=-2, c=y下去解

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