假設有個活塞容器所裝的樣品，在25℃下，含有5.00mol單原子的理想氣體，反應程序進行前的壓力是10.0atm。假設容器外的壓力比較低，是1.00atm，並且反應程序屬於可逆的。計算容器內的氣體樣品進行反應程序，最後的壓力和體積，並且計算這個程序所做的功。

化學原理啟迪263

絕熱過程 Adiabatic Processes(二)

1.      【例題】假設有個活塞容器所裝的樣品，在25℃下，含有5.00mol單原子的理想氣體，反應程序進行前的壓力是10.0atm。假設容器外的壓力比較低，是1.00atm，並且反應程序屬於可逆的。計算容器內的氣體樣品進行反應程序，最後的壓力和體積，並且計算這個程序所做的功。

2.      【解題】題目已經提供程序進行前與之後的壓力－初始壓力與最終壓力，因此我們將用這個方程式：

P1V1^γ＝P2V2^γ

3.      其中，單原子氣體的γ數值是

γ＝Cp/Cv＝5/2R÷3/2R＝5/3

4.      因此我們得到

P1V1^5/3＝P2V2^5/3

5.      我們依據理想氣體定律，計算V1

V1＝nRT1/P1

＝(5.00mol)(0.08206 L atm/K mol)(298K)/(10.0atm)

＝12.2L

6.      現在我們可以解開V2

V2^5/3＝P₁V₁^5/3/P2

＝(10.0atm)(12.2L) ^5/3/1.00atm

V2＝48.6L

樣品進行絕熱過程之後的體積是48.6L

7.      我們可利用以下的公式計算「功」

ΔE＝w＝nCvΔT＝(5.00)(3/2R)(T2－T1)

8.      但是我們要先依據理想氣體定律計算出T2

T2＝P2V2/nR

＝[(1.00atm)(48.6L)]÷[(5.00mol)(0.08206 L atm/K mol)]

＝118K

9.      因此

w＝ΔE

＝(5.00mol)(3/2)(8.3145 J/K mol)(118K－298K)

＝－11,200J

10. 特別留意內能變化ΔE與功w的符號都是負號－，因為系統（容器內的氣體）擴張的時候，能量以功的形式流失了。

11. 特別留意，以上可逆的絕熱擴張程序例子，樣品的溫度從298K變為118K，這是非常劇烈的溫度改變。因為溫度大幅改變，所以氣體最後的體積遠小於等溫擴張程序，等溫擴張程序一直到最後溫度都保持在298K。

12. 在可逆的等溫擴張程序，溫度永遠保持298K，程序進行前壓力P1＝10.0atm並且V1＝12.2L，程序進行後壓力變為P2＝1.00atm，最後的體積是

V2＝P1V1/P2＝(10.0mol)(12.2L)/1.00atm＝122L

13. 這個擴張程序的功是

w＝－nRTln(V2/V1)

＝－(5.00mol)(8.3145 J/K mol)(298K)(122L/12.2L)

＝－28,500J

14. 就像「等溫擴張」程序造成的「體積」改變幅度較「絕熱擴張」程序大，「等溫、可逆擴張」程序送到周遭的功也遠大於「可逆的絕熱擴張」程序。這兩種擴張程序的比較如下圖，它們反應前壓力P1＝10.0atm，體積V1＝12.2L：

15. 特別留意，可逆、等溫擴張程序

P1V1＝P2V2

或 PV＝constant

16. 另一方面，可逆、絕熱擴張程序

P1V1γ＝P2V2γ

或PV^γ＝constant

n   翻譯編寫Steven S. Zumdahl 《Chemical Principles》

研究心得：

1.      教科書假設有2個容器裝一樣多、一樣種類的理想氣體，當外在環境的壓力下降的幅度一樣時，保溫隔熱下的氣體擴張「體積」與做出來的「功」都比較小，不隔熱的氣體擴張「體積」與做出來的「功」比較大。

2.      不保溫隔熱的氣體擴張的「體積」與做出來的「功」與比較大是因為周遭有熱能提供給系統做功，所以，「『等溫擴張』的體積大於『絕熱擴張』的體積」這個結論是建立在一個客觀條件，周遭的溫度比系統高，不然周遭如何提供熱能給系統？

3.      同樣的實驗如果放到極冷的地方去進行，結果就會完全相反；如果周遭的溫度遠低於系統，當外在壓力下降，保溫隔熱的容器跟不保溫隔熱的容器相比，保溫隔熱的理想氣體因為熱能不流失，做的功會比較多、體積擴張也比較大。

4.      可逆的絕熱程序 PV^γ＝constant壓力×體積^{熱容量比值}＝常數，「絕熱過程」的體積V必須被「熱容量的比值r」調整，所以體積的擴張或壓縮確實受到一些限制。

5.      可逆、等溫擴張程序PV＝constant，體積雖然不須要被「熱容量的比值r」調整，但是等溫擴張的「體積」會受到周遭溫度T的影響，依據理想氣體定律PV＝nRT，外在溫度T低於系統，也會使體積的擴張V受到限制。