接下來我們將討論氣體分6個步驟從狀態1變為狀態2，過程中用質量於M1～M1/4之間的不同物體放在秤上，一步步擴張氣體體積。

化學原理啟迪235

理想氣體在恆溫下的擴張與壓縮（二）

The Isothermal Expansion and Compression of an Ideal GasⅡ

1.     【六步驟擴張 Six-Steps Expansion】 接下來我們將討論氣體分6個步驟從狀態1變為狀態2，過程中用質量於M1～M1/4之間的不同物體放在秤上，一步步擴張氣體體積。

2.     反應過程摘要如下，圖中面積代表「功」：

在這個例子，︱w6︱是6個步驟個別的功加起來的總數。

3.     【無限步驟擴張 Infinite-Step Expansion】如果持續增加步驟數量，n步驟反應過程做的功wn是

︱w_n︱＝Σn i=1 P1ΔVi

4.     現在我們討論一個例子，在這個反應過程中，Pex的改變是一點一滴微幅增加而成，因為我們每個步驟使用的物體，只比前一個步驟的物體的重量增加一點點，在這樣的條件下，體積改變的幅度變得非常小（dV），並且這個反應過程需要極多的步驟，最後的功就是把每一個步驟加起來。

︱Work︱＝∫ ^V2 _V1 Pex dV

5.     反應過程如下圖，圖中面積代表「功」：  

6.     我們必須知道，當氣體一步步地擴張的時候，外在壓力幾乎等於氣體製造的壓力，也就是，在特定的時間點，外在壓力Pex只有稍稍比容器內的氣體壓力P少一點點，這之間只有些微的差距dP，所以我們可以假設，不論在反應過程的哪一點 P≒Pex。

7.     P≒Pex：氣體對外施加的壓力≒外力施加在氣體上的壓力，反應前狀態幾乎等於反應後的狀態，過程中系統一直處於平衡狀態（十分容易逆反應）的反應，稱為可逆反應 a reversible process。

8.     前面段落所描述的氣體擴張反應，進行的步驟有限，例如單步驟、二步驟、六步驟，它們並不是可逆的反應，因為反應過程的每個步驟，外力造成的壓力確實小於氣體壓力，這二者有明顯的差距。

9.     因為可逆的氣體擴張反應程序中，P≒Pex＝P，依據理想氣體定律

Pex≒P＝nRT/V

並且 

︱Total work︱*＝︱w_∞︱＝︱w_rev︱＝∫^v2 _v1 nRT dV/V

10.  因為在這個實驗中，n和T維持恆定

︱w_rev︱＝nRT ^∫v2 _v1 dV/V＝nRT（InV2－InV1）＝nRTIn(V2/V1)

11.  註1：∫^v2 _v1是體積從V1變成V2過程中，每次體積都以固定比例改變，我們要把每次些微改變的體積一個個累加起來，才知道整體程序中體積的總變化量ΔV。

12.  註2：InV2－InV1：為什麼要用自然對數來計算體積擴張次數？自然對數的觀念lim(1+1/n)ⁿ，就像本金與複利不斷累加的情形；由於每次氣體的擴張，都是在原本的體積（本金）下再擴張一定比例（複利），所以用自然對數為底數，可以算出到底擴張多少次？InV2－InV1就是比較體積V1擴張次數與V2擴張次數的差距。

13.  註3：nRT（InV2－InV1）：nRT是容器中所有氣體粒子的能量，也是氣體的壓力P；nRT（InV2－InV1）是所有氣體粒子從體積V1一點點擴張到體積V2所花費的總能量，也就是功。

14.  在這個實驗裡，V2＝4V1，因此

︱w_rev︱＝nRTIn4＝1.4nRT

15.  並且因為P1V1＝nRT，所以這個擴張程序做的功是

︱w_rev︱＝1.4P1V1

16.  特別留意，隨著擴張的步驟增加，氣體做的功也跟著增加。一份氣體在恆溫下從體積V1變為體積V2，進行可逆擴張時，它所做的功就是這份氣體能做的最大功。

17.  n莫耳理想氣體在等溫下進行擴張所做的功

︱w_max︱＝︱w_rev︱＝nRT In(V1/V2)

18.  進行這個理論實驗時，我們預先假設氣體的行為符合理想氣體的模式：當一定份量的理想氣體在等溫下擴張，氣體的內能維持不變；也就是ΔE＝0。這種情況代表q＝－w 熱＝系統所做的功。

19.  也就是說，氣體（系統）擴張時，能量q（熱，大小等於w）流入氣體，並且做出功w。這是周遭（幫浦內的真空區域）提供系統（氣體系統區域）做功所需的能量（以熱的形式流入系統）。

20.  因為在可逆擴張過程中，系統對外作功，功流出系統，所以是負號：

w_rev＝－nRTIn(V2/V1)

並且

q_rev＝－w_rev＝nRT In(V2/V1)

n         翻譯編寫Steven S. Zumdahl 《Chemical Principles》