Contents ...
udn網路城邦
黎曼幾何---完備性(completeness)
2021/10/11 12:00
瀏覽67
迴響0
推薦4
引用0

年紀大了 邊學邊忘 今天把完備性整理一下 才發現以前其實"知道"蠻多的 樂觀一點 就當作是好事吧

實數的完備性是微積分的基礎

完備性有多個等價的敘述 例如(1)所有的科西數列都收斂 (2)漸增有上界的數列的數列收斂 ...

因此 一個拓撲空間是完備的就如以上(1)所定義

 

一個向量場X的局部流線(local flow)定義一個1-parameter group of diffeomorphisms 則稱此向量場X為完備的

或者說X的所有積分曲線對所有時間t都是存在的

因此 如果流形M是緊緻的(compact)則M上的所有光滑向量場都是完備的

定理:若X,Y是M上的兩切向量場 它們的流線分別是

有一個習作

 這是完備的向量場

 

一個黎曼流形M上每一個點上的指數映射(exponential map)都可以定義到整個切平面 則稱M是測地完備(geodesically complete)

此時有Hopf-Rinow定理

這裡提到過許多關於完備性的內容 例如 compact-->complete-->non-extendible

如果流形M是緊緻的則M是geodesically complete

 

一個k維平面場(distribution)D是完備的(completely integrable)D上的向量場是對合的(involutive,closed under bracket)

此時有Frobenius定理(1)  (2)

 

一個Hamiltonian H稱為可完備積分(completely integrable) 若...

這是[黎曼幾何簡介]p.225後 幾何力學的東西 還沒弄清楚...


有誰推薦more
全站分類:創作 另類創作
自訂分類:黎曼幾何
上一則: 黎曼幾何---向量場
下一則: 黎曼幾何---differential form(2)

限會員,要發表迴響,請先登入