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再見Elie Cartan
2021/08/01 19:11
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Letters on Absolute Parallelism 1929~1932

Elie Cartan 1869~1951 是法國數學家

1928到1931年 愛因斯坦正在發展他的統一場論(重力場與電磁場)

左邊的書是Cartan在1929~1932間與愛因斯坦往來的書信

此後 愛因斯坦放棄他的統一場論

原書有260多頁 有德文 法文與英文版 也許您有興趣

利用兩天的時間 把結構方程複習一遍 原來的標題是[活動標架法]

活動標架法的理論基礎是結構方程

高斯方程與Codazzi-Mainardi方程決定了曲面的局部幾何

[看看故事]也是排遣歲月的好方法

這篇故事中也有提到1929~1932年與愛因斯坦的書信 以及 愛因斯坦對於Cartan的推崇

書中對於Cartan與Sophus Lie(在1893年相遇)與Wilheim Killing的工作也多所鋪陳

Cartan對於李群 李代數 偏微分方程都有重大貢獻

並且對黎曼曲率用活動標架法重新詮釋

 

一個奧運選手的背後有許多資源與力量推動

一個數學家的養成也是一樣 看別人的故事是我努力學習的動力

 

在微分流形上 必須把不同坐標系的微分概念聯合起來 因此 流形上的方向微分又稱為聯絡(connection)

Leve-Civita connection在黎曼流形上是唯一決定的

 

空間曲線的Frenet公式所對應的矩陣是反對稱的 流形上的connection 矩陣也是反對稱的 這不是偶然

Cartan的工作本來就是把Frenet,Darboux的古典微分幾何(曲線與曲面的幾何)推廣到微分式(differential forms)的微積分

我查了一下[初等微分幾何講稿]:

一個單參數族的正交變換 其對該參數的微分自然是反對稱

就是 當李氏群為正交變換群時 其相應的李氏代數為反對稱矩陣

 

[大域微分幾何]中的符號澄清了不少 又望著Schwarzschild solution 興嘆

Schwarzschild solution是愛因斯坦場方程的靜態 球對稱解 它的Killing向量場要滿足Frobenius條件

須要計算黎曼 里奇 愛因斯坦張量...痛哭

[大域微分幾何]p.389~401在說 1943年 陳省身用活動標架法(結構方程) 如何利用高維的Hopf-Poincare定理 證明高維的Gauss-Bonnet定理

最後的結論:

Elie Cartan的活動標架法對(1)李群 (2)黎曼曲率 (3)偏微分方程 (4)廣義相對論都有重要的應用

如此看來 我遙望遠山 還在路上

 

小時候讀過愚公移山的故事 現在 自己是愚公爬山吧

愚公移山要後代子孫繼承志業 愚公爬山要寄望下輩子了


幾何與廣義相對論中的[純量曲率]

[大域微分幾何][An Introduction to Riemannian Geometry][Differential Forms and Connections]

今天逛到[The Absolute Differential Calculus]是Levi-Civita寫的張量


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