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芝麻事: 甚麼派? 瀏覽457｜回應17｜推薦31
2008/03/30 01:00:02

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派~ 甚麼派? 哈哈哈... 不是蘋果派, 也不是檸檬派 (Beaver的粉絲要失望了). 更不是政治上的派系. 而是道可道非常道的數學派 (NS是老子道教的信徒, 不是畫符捉鬼的那個道教之徒. ).

上次提到以動畫, 簡介找質數的方法. 其實, 更早之前, 就曾在維基網上, 看過以動畫的簡單明瞭意相, 表達一個抽象的數學符號: π (嘿~ 這可不是ㄅㄆㄇㄈ的ㄇ, 也不是英文字母的n, 而是希臘字母 Lower-case π (the lower case letter is used for the constant) 的pi).

有一必有二的再來介紹這個有意義的動畫. 下面就是這個維基(版權分享)動畫, 可以比文字, 更容易讓人瞭解 π 這個符號的幾何意義.

Image:Pi-unrolled-720.gif

(圓周率 Lower-case π (the lower case letter is used for the constant) : 圓的周長與直徑比. 所以 以直徑為1的單位作出的圓, 其圓周長所量出的長度就是Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)值. 上圖所示紅線長度, 就是 Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)值的大小.)

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Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)的歷史是很有趣的故事, 它不僅是數學史的一枝. Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)的發展沿革, 也與人類的文明與人類智慧的發展, 習習相關. 市面上, 有關Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)的歷史的書不少, 有心的話, 可以大有斬獲. 維基網, 也有一些條目, 值得參考閱讀: 中文看這裏, 英文看這裡.

(註一): Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)不是一個平常數 (像我們日常生活所用的, 自然數, 有理數, 無理數...等. 至於甚麼是自然數, 有理數, 無理數的定義, 點擊維基網提供的聯結, 都可再去研讀. NS假設網友都是國中數學高才生, 在此予以略過  ). 它已經超越這些數所能涵蓋的意義, 所以數學上, 我們把它定義成: 超越數 transcending 『beyond the limit』 number.

(註二): 祖沖之是位值得我們驕傲的數學家. 他的生平,  請參閱維基網的條目. 在此條目中, 提到 祖沖之以盈肭兩數的概念, 求得圓周率的小數點後第7位的近似值. 他的成就領先世界的記錄, 直到一千多年後才被打破.

(註三): 割圓術 沒看到維基網有提到, 就以我記憶(絕對不見得可靠)所知, 說明一下. 請回到pi的維基英文網頁, 其中提到, 阿基米得是第一位, 用正多邊形接圓與切圓的概念, 求得Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)近似值的數學家 (我記得希臘古人還是埃及古人? 圓周率採用的都是3吧). 為甚麼要用到接圓與切圓的正多邊形呢? 那是因為, 阿基米得時代的幾何學, 還不知道圓面積為 Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)(r)2, 阿基米得以為, 既然圓的面積介於正接多邊形與正切多邊形之間. 那麼兩個正多邊形面積相加除以2, 就是圓面積啦,  請參考下圖. 割圓術, 就是這個概念的應用. 祖沖之把圓精細分割, 到7千六百多個內接正多邊形, 以其面積近似圓面積, 才求得出那個聞名的祖數.

(註四): 圓周率Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)值的精準到小數的幾百或甚至幾萬位, 對我們日常生活, 無關緊要. NS對記憶這些數字的小道花邊新聞, 一向都當做蚩尤的鼻子的(嘿~ 韓國人可別又說因為蚩尤是韓國人的祖先, 就把祖數拿去申請世界遺產去了). Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)值對我, 就是3.1415926. 再多的位數都是沒有太大差別的. 有趣的是, Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)值的繁分數的表達上(以及其它各種表達法), 可見到一堆質數, 排列應用在Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)的本質上:

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\!

\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdotsight)\!

\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!

\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!

\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\!

\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!

最可怕的公式是,下面這個 (看都看不懂, 怎麼來? 有甚麼用處? 都不知道. 可怕呀! 搞出這個公式幹麻?):

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!

至於, 三角幾何學上的 Lower-case π (the lower case letter is used for the constant)值, 更是抽象到教人摸不到頭腦, 只能強記了(強記的東西, 總是會記了又忘. 奈何!!):

\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi

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哈哈... 數字真是有趣!!!
(數學真可怕!!  唉, 道可道非常道阿~)

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( 心情隨筆｜心情日記 )
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引用
引用網址：http://blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=littlezone&aid=1736575

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Brideshead
等級：7
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數學老師
2008/04/19 15:05

老師好

若當初教微積分的老師能這樣圖文並茂地教

像你這般   我微積分一定高分  嗚嗚

但我統計有修到高等統計學耶  

而且有過喔   哈哈哈   真詭異

文化，生活。
nothing special(littlezone) 於 2008-04-19 20:41 回覆：

嗚嗚...
我每想到當年學微積分時
老師沒有殺戮之氣
那學習效果會不一樣的
就很想 嗚嗚...

好吧 計憶好的鳥人
背段高統公式來吧
統計公式直多的 事實上 是所有數學學科裡 公式最多的一門
所以 我最怕.

珍妮曾在西雅圖
等級：7
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天哪！
2008/04/18 11:30

這些公式看的我頭昏眼花，NS卻看的津津有味。莫非NS 當年來美，乃專攻數學？

我對CBS的影集 Numbers 比較有興趣。把數學應用在FBI辦案上，太有趣了。
nothing special(littlezone) 於 2008-04-19 09:17 回覆：
我也是頭昏眼花的.
只是覺得 這些公式 很有規律 很有趣味
你不覺得它們很美嗎?!!!

hotfox
等級：5
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謝謝 你對網友還有信心
2008/04/10 23:43

很佩服  有學問的
不敢按推薦  推不動

只有一直點頭  謝謝  你對網友還有信心
nothing special(littlezone) 於 2008-04-11 08:29 回覆：

推薦 點閱率 ... 都只是主事者的商業手段
本人非udn的主流派 從不參與聯網的商業競賽等等
思想 意見的交流 對我言比較有意義.
推不推薦 隨意.
寫意 在 littlezone 比較重要
寫你之意
寫我之意 此為nothing special 的來由.

ns 只抱盡情暢言之心
對人有沒有信心...?
That is another story, really.

囡囡仔
等級：6
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數學
2008/04/08 17:57
真的很可怕, 不過沒關係, 炒菜又不必開根號 , 嘿嘿
nothing special(littlezone) 於 2008-04-09 09:50 回覆：
嘿~ 那些可怕的符號湊在一起
真的會把(我們)這些(懶)鬼嚇死!!!
我每次都安慰自己說
退休就有時間好好研究這些符號之間的關係.

Emily*
等級：7
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Brain Man
2008/04/08 02:27

看過他一字不錯的背出完整22514個數字的ㄆㄞ嗎? 就是這個Brain Man讓我瞭解，ㄟ我對數字啊，數學啊，ㄆㄞ啊....一概都沒興趣啦，

好在我兒子沒變成像他那"派"的，真的瘋掉。
nothing special(littlezone) 於 2008-04-09 10:51 回覆：

Oh~ Emily, 感謝你提供的 link
讓我有機會說說我的看法.

不否認的 這位 能記憶22514位數圓周率值的Daniel Tammet
可能是位 Savent (我還去查字典 確定字義 learned person: a wise or scholarly person) 我沒看過60minutes節目不敢說此人真是智否? 只能以savent稱呼他了. 也不覺得 所謂savent是不是除了wise還有他義否?

純粹以wise字眼來看 我非常反對 能背誦記憶一長串無意義的數字或符號 就可稱這種能力為智.

我們人類學習的能力分為下面六個層次:
1) 知道 2)了解 3)理解 4)應用 5)推理 6)導衍架構新知識.
圓周率的記憶 根本不屬於上面這六類的任一項
前一陣的一則有關人類記憶能力與黑猩猩記憶能力的比較 的有趣新聞
正好就可以證明 人類記憶能力 遠輸於 猩猩記憶能力
是人類的智 低於 猩猩的智?
正相反的是, 人類的智慧是高於猩猩的智慧的.
由此說明 智絕對不能與記憶 畫上等號!!!
人類的智的發展是 基於將腦力從大部份使用於記憶的機械式銷耗 轉移去高層次的學習與使用 才發展出 不同於其它高等動物的文化與文明. 

記憶能力至多是個長處
絕對不是智慧的一部份. 頂多是小小一部份罷了.
記憶能力的好壞 在我們人類的 上述六個學習層次 影響到的是 第2)個層次的學習效果 也還是低層次的學習.
我反對 反對 一般人對記憶的迷思: 記憶好不見得智慧高.

所以 數學派 3.14就夠用了
3.1415926 計算時都不必自找麻煩了 省省吧!
記憶這些小數點後的位數 到某某位數... 吃飽撐著了 無聊.

Beaver
等級：7
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嘻嘻嘻
2008/04/03 07:25

揮一揮衣袖 偶是不帶走一片雲彩的  更別說數學了  
好啦好啦 偶自己承認啦 嘻嘻  偶數學曾考過九分   All Time Record   .
nothing special(littlezone) 於 2008-04-03 09:43 回覆：

唉呦 聯考0分的大有人在
9分尚未探底
免驚 免驚...
何況
吾人不以數學分數論英雄的.
你做的派
好吃就好 粉絲多多咧~ 

Beaver
等級：7
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嘻嘻 .....
2008/04/03 03:10

考完大學聯考，偶就把數學，完完整整的還給老師了。Amen。
nothing special(littlezone) 於 2008-04-03 07:04 回覆：

好吧好吧...
算我怪胎 把數學當成美學
嘻嘻...

想想
做老師的
每到聯考之後
教一年回收的數學是百倍計
要把背都壓垮了!!!

倫敦火星客
等級：7
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scare me..
2008/04/01 23:42
this article scares me like shit.. all the equation.. omg!
庸人自擾時 就讓旅行來治療

London Martian
nothing special(littlezone) 於 2008-04-03 06:56 回覆：

嘿嘿~
蘇東坡問佛印: 你見我看到甚麼?
佛印說: 我看到一座佛.

佛印問蘇東坡: 那 你見我看到甚麼?
蘇東坡抓到機會趕快捉弄佛印說: 我看到一坨大便.

蘇小妹就笑她的哥
心中是甚麼看到的是甚麼!!!

哈哈哈哈哈...

李四
等級：7
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老師，我看不懂！
2008/04/01 01:54

我根本看不懂……（我也沒聽過pascal series這個詞兒）我把這個問題列舉出來是因為覺得很有趣，因為我兒子（八年級，13歲）給我的解釋是說，這完全是「我手寫我口」，從第二行起，都是在敘述上一行的「結構」而已：

1 （1）

11（一個一）

21（兩個一）

1211（一個二，一個一）

1231（一個二，三個一）

131221（一個三，一個二，兩個一）

132231（一個三，兩個二，三個一）

所以接下來就是232221（兩個三，兩個二，兩個一）

你說，是不是很有趣呢？是不是很無厘頭呢？！
nothing special(littlezone) 於 2008-04-01 09:35 回覆：

Well, 要用那樣解釋的術字排列當然也可以啦.
只要有規律性 就可以用數學符號表示出來它的規律性.

照你的字義
這一行: 1231（一個二，三個一）
夾在所有的行列裡就很突兀
讓整體沒有規律性了.

pascal級數是很有規律性的數字排列
後來發現 它原來就是
二項式 冪次 展開式的 係數
所以讓我們很容易記公式.

註: 還記得 二項式吧:

(x + y)2 = x2 +2xy +y2

 

(x + y)3 = x3 +3x2y + 3xy2 + y3

 

(x + y)4 =  …

把每項的係數提出就是 pascal 級數:

   1
  1 1
 1 2 1
1 3 3 1

所以下一列應該是 1, 4, 6, 4, 1
依此規律 就可找出 二相式的 n次方的公式. 

Daju
等級：6
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我很汗顏
2008/03/31 15:20
都不會
nothing special(littlezone) 於 2008-04-01 09:43 回覆：
你如果修計算機的理論
就要有 Computational Math的應用
那裡公式才多咧~
而且要用到好多 好多的理論
非常可怕的.
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