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終於解決了...呵呵
2009/09/03 09:18
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Q:
直角座標上, n個格子點所形成的凸多邊形,
證明: 可以將此多邊形分割成若干個面積皆為1/2的三角形(這些三角形的頂點都在格子點上)
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註1: 其實凹多邊形應該也成立
註2: 若干個到底是幾個?
令 此多邊形邊上有S個格子點 , 多邊形內部I 個點
則 此多邊形面積即 1/2*(S+2I-2)
也就是說, 若干個 = (S+2I-2)個
迴響（3） ：
3樓. 陳2009/09/05 09:35陳
不錯的解法,這樣皮克定理應該已經完全解決了!
這就是解數學問題最大的快感,尤其是當有名的定理用巧妙的方法解決的時候!!!
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2樓. San2009/09/04 14:36:O
因為工作需求最近開始學統計學，最基礎的就是高中學到的內容，雖然高中時數學不錯，不過大學四年完全沒碰數學的結果就是全忘光了，上網搜尋組合數學時發現了這個網誌，我只能說... 你真是瘋狂... -
1樓. 陳2009/09/04 11:14陳
恩,我認為此問題應該在一開始的多邊形分割上吧,我本來想用向量解決的,不過後來我沒有繼續想了,說說你對皮克定理的解決方法吧!
我認為你那題m不能整除2^m-1那題不好解決耶,還是我想的太複雜阿??
我後來還是從那裡切入耶...就是一定可以找到那條線附近的一點使的三角形的面積為1/2
我是用代數的
PS: (a,b)=1只要證明存在(s,t)使得那個三角形面積為1/2就好了 , 然後就用點到直線的距離硬代
最後可以整理得到: as + bt = ab-1
由初等數論中的定理: 如果 ax+by=c ,(a,b)|c ,只要(a-1)(b-1)≦c, x,y就有非負整數解
而 (a-1)(b-1)正好≦(ab-1),所以(s,t)有非負整數解！！
而且(s,t)有限制在與原點同側,這只要檢驗一下就可以發現是符合的︿︿
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至於那題m不能整除2^m-1,也沒有很簡單啦,不過看起來也不難就是了呵呵（那是書上的題目）
都都 於 2009/09/04 13:07回覆
