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失傳的高中作圖法: 如何做拋物線,橢圓,雙曲線的切線呢?
2009/07/18 18:42
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Q:

給定一拋物線(標明焦點和準線) , P為拋物線上任一點 , 如何用尺規作圖作過P的切線 ?

給定一橢圓(標明兩焦點), P為橢圓上任一點 , 如何用尺規作圖作過P的切線?

給定一雙曲線(標明兩焦點), P為雙曲線上任一點, 如何用尺規作圖作過P之切線 ?

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高中很少見到作圖題(其實是我還沒看過呢...)

不過其實這三題都是作得出來的!

而且從作圖中就可以證明其光學性質呢

有誰推薦more
迴響(4) :
4樓.
2009/07/20 22:08

呃......不然我講一下我的証法好了,算是提供給你做參考(以橢圓那例子):過A,B,C,D做橢圓切線La,Lb,Lc,Ld,設La,Lb交於G,Lc,Ld交於H,則針對G,H而言,直線PAB,直線PCD分別是G,H點之極線,由此可知直線GH恰為點P之極線(可利用高中証法,座標化得証)接著僅需說明G,H,E,F四點共線.考慮圓錐曲線方程式為g(x,y)=0(為二次式),f(x,y)=GB*AD*CH=0(為三次式),h(x,y)=AG*CB*HD=0,則確定g(x,y)=0與f(x,y)=0之交點為A,B,C,D;而h(x,y)=0亦通過A,B,C,D,因為h(x,y)=0為三次式,故由類似直線系(或圓系)之概念可確定h(x,y)可表為f(x,y)+L*g(x,y)=0(L為一次式),又因為G,E,H在h(x,y)=0上,又在f(x,y)=0上,故G,E,H代入h(x,y)=0等號成立,即代入f(x,y)+L*g(x,y)=0等號成立,而f(G)=f(E)=f(H)=0,但g(G),g(E),g(H)不等於零,故G,E,H必代入L中須等於0,即G,E,H三點共線.類似方法可證出G,H,F三點共線,可見EF為點P之極線.

其實用類似方法亦可證出著名的巴斯卡定理,我有跟你們同學提到過.

(高斯的証法應該極其簡潔,我的作法只不過用了一點技巧(trick),實在不足掛齒,提供給各位分享交流)

嗯嗯@@的確是高中程度

不過

想不到XD

尤其是設出那個 f 和 h ,應該是妙手吧QQ

都都2009/07/21 16:22回覆
3樓.
2009/07/20 16:46

此題我有想出一個高中生証法,我猜想高斯的原始証法應與射影幾何有關,畢竟大師級數學家想的東西一定有其獨到之處.

你可以嘗試看看高中生現有的知識如何解決它.

.....

彬哥我跟你的level不一樣阿

都都2009/07/20 20:21回覆
2樓.
2009/07/20 15:00

我不會PO圖,所以我敘述一下高斯的作法:給定一橢圓(以橢圓為例好了,其餘圓錐曲線同理)外一點P(P在橢圓上半部),過P作橢圓的兩條相異割線,左邊那條為直線PAB(交橢圓於A,B),右邊那條為直線PCD(交橢圓於C,D),連AD,BC,設交於E,連AC,BD並延長設交於F,連接EF設交橢圓於Q,R,則Q,R即為過P之切線的兩切點,PQ,PR直線即為所求.

細數圖中的直線,恰7條直線即找出切點,令人贊嘆的作法!(對所有圓錐曲線皆可做,高斯沒有提出證明,你可以嘗試證明看看!)

!!!

真是超厲害的...@@

不過這證明可能超出我的能力範圍吧XD我覺得啦

都都2009/07/20 16:38回覆
1樓.
2009/07/18 23:15

其實此題已被大數學家高斯徹底解決了,點在錐線上可利用光學性質作出切線,應該不難做.較麻煩的應是不給焦點的錐線外一點P做切線的尺規作圖法,曾經有人問高斯該題作圖,高斯給定一個徹底的錐線外一點作切線法,而且不需圓規,畫七條直線即找出切點,不過現在有點晚了,我這裡要關門了,下次再上來po作法!!

(高斯沒有公開發表,可見他可能覺得不夠系統,他所發表的論文一向很完整的)

@@原來如此...

會不會很難阿

不會的話就麻煩你PO一下囉XD

都都2009/07/19 10:21回覆

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