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鏡對稱 ─ 一個魔法的誕生﹝弦論七﹞
2009/12/01 16:57
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從﹝弦論 O﹞到﹝弦論六﹞這一路下來,我們瞭解到,愛因斯坦的廣義相對論把重力物理與時空幾何連結起來,而弦論更強化並深化了物理與幾何之間的關聯性。接下來讓我們看看近二十年來物理學家們獲得怎樣的最新進展。

1988 年,史丹佛的蘭斯‧迪克森,歐州核研組織﹝CERN﹞的伍爾夫庚‧勒奇,哈佛的瓦法,和麻省理工的尼克勞斯‧華納,以基於對稱美學方面的理由,倡議當兩個不同的卡拉比‧丘流形,被選擇用來做為弦論裡那些蜷曲起來的多餘維度的時候,有可能造成兩個物理性質完全相同的宇宙。

這裡有點難懂。講明的話是這樣的:弦論不是說空間有十度嗎?這十度裡有三度是不蜷曲、舒展開來的,即為我們所熟知的長、寬、高這三個維度。其餘七個度我們說,捲起來,看不見了。整個宇宙的空間裡每一個點,都存在著這七個空間度蜷曲起來,無法觀測的「球」,叫「卡拉比‧丘流形」或「卡拉比‧丘空間」。

如果我們知道這七個空間度是怎麼個捲法,不就完全瞭解宇宙的時空真面目了嗎?問題是,在無以數計可能的眾諸卡拉比‧丘流形裡,那一種才是宇宙的真實面貌?在窮究一切可能的卡拉比‧丘流形的過程當中,上述這四位提議:或許兩種不同的卡拉比‧丘流形有能造成一模一樣的宇宙空間樣貌。意即:卡拉比‧丘流形與蜷曲空間樣貌或有可能不是一對一,而是多對一的關係。

前文也提過,基本粒子是由「弦」在包括舒展與蜷曲空間的所有維度裡激盪振動形成的 ─ 振盪的模式決定所形成的粒子。

沒提到的一點是:基本粒子會依它們的生成型態成群成族,叫做 "family"。研究發現:基本粒子如何分門別類,和卡拉比‧丘流形在那七個蜷曲空間裡有幾個「洞」大有關係。也就是說,如果我們能找到一切所有基本粒子,將它們成功地分門別類,我們就可以知道,宇宙真正的卡拉比‧丘流形有幾個「洞」─ 雖然還是不知長成什麼樣子,知道它有幾個洞也不錯。可惜這也還不可能,我們尚未能找著所有一切基本粒子。

這裡所謂的「洞」和甜甜圈中心的洞意思一樣。拓樸學上,甜甜圈和馬克杯是同樣的東西 ─ 一個麵團做成甜甜圈後,也可以經由搓揉捏弄,在不撕壞或扯破麵團的條件下,被轉變成馬克杯。

因為二者基本上都是中間有一個洞的三度物﹝在馬克杯而言該洞是即杯邊的耳狀把手﹞。卡拉比‧丘流形只不過是度數和孔洞都比甜甜圈多一些而已。

值得一提的是,兩個不同的卡拉比‧丘流形,不論它們在那幾個維度上開洞,只要二者的「總孔洞數」一樣,就會造成一樣多的基本粒子族群類別。

1988 年末,布萊恩‧格林和羅嫩‧普雷瑟在哈佛研究開發將一個已知形狀的卡拉比‧丘流形轉變成另一個未知的卡拉比‧丘流形的數學方法。他們對一種八零年代中期研發出來的,用數學來「玩弄」類如前述甜甜圈麵團,使其形狀、模樣、相貌、孔洞產生變易,叫 "orbifolding" ﹝orbifold 是 manifold ─ 流形的統稱﹞的方法特別感興趣。

因為與瓦法同在哈佛的緣故,他倆在得知上述四人的假設之後,思路遂朝向本文第三段所述之「多對一」關係逐漸整合。

經過數月的研究,格林、普雷瑟越來越傾向於認為:兩個完全相異的卡拉比‧丘流形,如果能用 orbifolding 的方法彼此變化、轉換成功,那麼二者除了在各自形成的宇宙裡會有一模一樣的基本粒子族群類別之外,其他各方面的物理性質也都將完全相同。也就是說,兩種不同的卡拉比‧丘流形可能造成同一種宇宙,條件是 orbifolding 必須成功。他們給這發現取了一個名字:鏡流形。

二人將此一構想告知丘成桐﹝卡拉比‧丘流形的發明人﹞。丘成桐認為他們一定在計算過程中犯了某種錯誤,幾乎不可能完全正確。畢竟,只要一項物理性質不同,兩種卡拉比‧丘流形造成的宇宙即會大相逕庭。況且愛因斯坦發現的空間幾何與宇宙物理間的硬性關聯百年來已經深植人心。再者我們只有一個宇宙,而這個宇宙服膺相對論,弦論鏡流形的事實基礎在那裡?證據又在那裡?話說回來,臆測是一回事,證明又是另一回事。

與此同時,德州州大的菲利普‧坎德拉斯和他的兩位助理研究生以電腦模擬大量卡拉比‧丘流形後發現,幾乎全部的卡拉比‧丘流形都是成雙成對出現的。此一發現正好與「鏡流形」互補:坎德拉斯的研究發現卡拉比‧丘流形有大量的對稱現象,而格林與普雷瑟的計算結果發現對稱的卡拉比‧丘流形會造成完全相同的宇宙。

兩組人馬各發表一篇論文後,弦論的「鏡對稱」從此誕生。

鏡對稱為弦論物理與卡拉比‧丘流形數學的研究工作帶來重大突破。記得人們還在為尋找真實宇宙的確切卡拉比‧丘流形努力不懈嗎?當一個被選來研究的卡拉比‧丘流形的數學運算遇上無可克服的困難時,現在學者們可以改用它的鏡對稱卡拉比‧丘流形繼續下去,並基於鏡對稱原理完全信任最後得到的結果將與使用原來的卡拉比‧丘流形毫無不同。這和利用能量不滅定律證明砲彈飛行拋物線高度之於不同出射角一律相等,較諸使用幾何、三角、牛頓力學等繁複計算更為簡易快捷,是同樣的道理。

鏡對稱是否禁得起考驗?1991 年間發生的一則故事將說明一切。

兩位挪威數學家,蓋爾‧愛靈素爾德和史坦‧阿利爾德‧史特羅姆恰好正在研究一項坎德拉斯團隊同時也在研究的項目。要言之,他們都在尋找某一特定卡拉比‧丘流形內所能容納的球體數目。愛靈素爾德和史特羅姆在花費無數的時間和精力後,得到的答案是 2,682,549,425。坎德拉斯團隊改採該卡拉比‧丘流形的鏡對稱流形,大量簡化計算的難度之後,得到的答案是 317,206,375。

兩個數字的巨大差異在當年柏克來的物理與數學年會上引起廣泛的討論和爭議,許多人將最後真象是否得以大白視為弦論實際可信度的檢驗標準。然而直到年會結束,這兩個數字的差異還是沒有得到解決。

一個月後,愛靈素爾德和史特羅姆在他們使用的電腦程式裡找到了一個邏輯錯誤,程式經過修正後重新運算的結果是:317,206,375,與坎德拉斯團隊的答案完全吻合。

自此之後,許多數學運算業已證明弦論鏡對稱原理的可靠度達到百分之百。更重要的進展是,數學界也已經找到了鏡對稱的理論基礎。利用馬克辛‧康慈維屈、尤里‧曼寧、田剛﹝音譯﹞、李俊﹝音譯﹞、亞歷山大‧基文陶等人的研究成果,丘成桐和連鵬﹝音譯﹞、劉基鋒﹝音譯﹞等人的研究團隊也找出一個卡拉比‧丘流形所能容納球體數目的計算公式,一舉解決困擾了數學界幾百年的問題。

至此,我們可以說,弦論不但為物理提供了一個統合的架構,也與數學在極深的層面上熔鑄在一起。接下來,讓我們看看理論物理如何運用弦論的鏡對稱,來證明空間本身不但可能裂變,也可以癒合,而在事前事後之際,我們的宇宙如何得以安然無恙。

 

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9樓. 【無★言】家喻戶曉的中國人
2017/07/04 21:13
家庭醫生
以前去看家庭醫生,醫生知道我是唸自然科學的,於是向我大談絃理論,一蓋就是一小時,絕對沒灌水。我一邊聽他蓋,心中一邊想:你一天看八個病人,就足以養活診所這一大群人嗎?搞不懂美國醫療制度。
8樓. 請教問題
2011/08/05 11:46
Hawke

卡拉比‧丘流形的""數決定出基本粒子的種類數目,這我可以理解;

*但卡拉比‧丘流形內所能容納的球體數目...這與""數有何關係?
 還是球體數目等於""數? 若是則卡拉比‧丘流形的""數最大就是 317,206,375?

*二個卡拉比‧丘流形的「總孔洞數」一樣,就會造成一樣多的基本粒子族群類別...
 是類別數一樣多,還是都完全相同的粒子與類別?
 若只是類別數一樣多,那就會有不同的物理特性,也就是說具有不同物理特性的宇宙,是吧?

煩請說明,謝謝!!

“他們都在尋找某一特定卡拉比‧丘流形內所能容納的球體數目”

我們還並不知道我們宇宙的卡拉比‧丘流形長甚麼樣子,因此不知它的孔洞數,宇宙所有一切粒子種類也尚未能確定,所以研究“某一特定卡拉比‧丘流形”並不表示說人們已經確定“我們的卡拉比‧丘流形”就是這個樣子,可說是為研究而研究。

317,206,375 只是他們選來研究的卡拉比‧丘流形內含可能球體數之量。兩個團隊採不同方法得出同一個值意味著這數值不是偶然,正確的可能性因此大大提高。 GolfNut — 無心的邂逅2011/08/06 03:34回覆
*沒有關係。原書沒說有關係,我文裡也沒這麼提。
這“”孔洞、“球體”不能想像成實質上我們一般所知的洞和球,也就是說,它們不是“東西”,而是造成東西的東西。一如我們不能把原子當成中間一個大球,外面好多小球繞著轉。真的球由原子分子聚集而成,原子分子本身就不能再是“真的球”。
*是類別一樣多。
別忘了粒子性質由弦的振盪決定,種類由卡拉比‧丘流形的孔洞決定。至少原書裡描述的理論如此。 GolfNut — 無心的邂逅2011/08/06 01:07回覆
7樓. 普希金 酷不停囉
2009/12/17 23:17
甜甜圈
那些卡拉比丘 像是在烤爐裡翻轉的甜甜圈 
我大概餓了
GolfNut — 無心的邂逅2009/12/18 00:40回覆
6樓. GolfNut — 無心的邂逅
2009/12/08 23:33
更正

丘成桐﹝卡拉比‧丘流形的發明人﹞

經查證,丘成桐並非卡拉比‧丘流形的發明人。尤金尼爾‧卡拉比是最先研究這東西﹝「小凱勒流形」﹞的人;丘成桐於 1978 年間成功地證明了一個假設;是坎德拉斯等人於 1985 年才將這種小凱勒流形命名為「卡拉比‧丘流形」的。

丘成桐證明成功的假設是卡拉比於 1954 年陳述的,後者顯然沒有能夠在自己有生之年證出自己的假設。這個「卡拉比假設」說:

compact Kähler manifold has a unique Kähler metric in the same class whose Ricci form is any given 2-form representing the first Chern class.

顯然丘成桐證出「小凱勒流形」的某「凱勒度量」是獨一無二的。Chern class 是陳省身發明的。

5樓. 葉子~
2009/12/08 01:05
太感謝了
你的解釋超過我的了解,一直以為只有三度空間,沒想到這麼複雜。不過看到這個動畫,似忽了解了一點。我藥開始好好研究一下。多謝你沒放棄駑鈍的我。

那裡的話,葉子,怎麼這麼客氣!

一個點無長、無寬、無高,什麼都沒有,所以是零度。

一條線只有長的值,無寬、無高,長度是它所有唯一的維度,所以叫一度。

面有長和寬,所以是二度。

立體有長度、寬度、高度等三個度數,所以叫三維。

一旦超過三維,也就超出我人的理解能力範圍,因為我們的宇宙天生可見的就只有三維。

如果它天生五維,我門就會有長、寬、高、??、!!,等五個維度。?? 和 !! 叫什麼我也不知道,反正到時一定會有個名字。

理論上沒有任何條件禁止宇宙有更多維度,只要能解釋其它維度何以不見了,就可以。

弦論認為,宇宙的空間有七個維度捲起來,失蹤不見了,它並努力設法證明言之成理。

如果證明成立,那麼宇宙就有十度空間。我們的感覺一點都不重要。

就像三度空間會彎曲,時間有時稠有時稀,極微之處空間和時間分不清楚,宇宙可能有「外面」可是縱使它沒有邊界,我們還是「出不去」一樣,我們的知覺和感覺不敵可證事實,毫無用處。

GolfNut — 無心的邂逅2009/12/08 19:26回覆
4樓. 盹龜雞~ 巴塞隆納 與女同遊
2009/12/06 10:32
了不起的研究

非常感謝高衲的詳細介紹, 讓我週日的早餐進用得驚呼不斷, 興奮異常.

動畫取得也好, 猜想那三個洞的平扁麵團的變型是要告訴我們: 麵團還是麵團  取這個麵團兩個小洞的兩個角延伸  再相接, 扁平型就成了立體的球型. 珍貴的教材 ~ 打破了我原來僵化的想法.

原來變型就是這麼變來的, 連洞洞的大小也可以延伸  縮小 .  有趣 ~

我懷疑發明提出卡拉比丘流型的丘博士  是不是有受麵包師傅的影響到  ?  麵包師傅也有本事將千層酥麵皮,   切個洞  轉個彎 扭轉連接, 平麵皮就成了各式好看的立體麵包.

找出  不同的卡拉比丘流型有鏡對稱, 總洞數一樣的, 會有相同的基本粒子族群類別的科學家  真了不起 .

謝謝來訪,盹龜雞。我也覺得他們理論物理學家了不起。我們拿這些 conifold, manifold, orbifold 當普通東西或麵團看,他們可不行,他們得建立數學模式,推導數學公式,還要有創意,想得出一般人想不出的東西,還得證明,以其與事實相符。

人類要取得真正的進步,除了理性與科學,我看不出有何他法。我在 NCL 上一日營營無事,跑去聽一個西方美術史的講座,從上古講到現代,各有其美也各異其趣,無所謂落伍或進步。我們看古人的文藝道德,常嘆世風日下人心不古,仿佛現代還退步些。讀古文或老莊,那現代人更沒法比。我們要比古人更「出人頭地」,唯有靠科學,弄出些像樣的東西,造福造福人群。

我懷疑甚至可以說願意相信,如果天外有人,他們一定也有類似我們人類的文明發展進程。外星人,一定也得有相對論、量子論、弦論。世事有千千萬萬,古往今來,真理只有唯一,而且恆久不變,所謂常道是也。

GolfNut — 無心的邂逅2009/12/06 15:04回覆
3樓. 葉子~
2009/12/06 09:29
雖然我有推薦

但並不表示我看得懂,雖然我有認真的看了好幾遍,對於甜甜圈扭過來扭過去,稍微有點知道它變來變去都是維持三個洞。

但是這個動畫好漂亮。

沒關係的葉子,看不看的懂都沒關係。卡拉比‧丘空間在維機百科裡有這麼一小段文字:

In superstring theory the extra dimensions of spacetime are sometimes conjectured to take the form of a 6-dimensional Calabi–Yau manifold, which led to the idea of mirror symmetry.

所以,一個至少六度的東西要怎麼畫呢?我們可以畫一個點,像這樣:

那是零度;一條線:

那是一度;一個平面:

是二度;一個方塊:

三度;再下去的四度就已經沒法畫了,遑論六度?因此所有的卡拉比‧丘流形都只是示意圖。至於幾個洞,也只有數學意義,肉眼﹝其實是我們的 sense﹞是無法看出來的。

GolfNut — 無心的邂逅2009/12/06 20:10回覆
2樓. 任俠李之瑜(李麗梅)
2009/12/02 10:42
野人有曝

您真是有學問啊

這高深的理論,的確是物理高手推論出來的

高人們又有辦法進行實驗來驗證理論,果然厲害

我個人的胡思遐想中,對於時空的概念,也有一種球狀概念

純然是自己胡想的

我認為我們所處的空間,只是球狀時空的一個無法用人類觀念思考的切片

所以,有無數個跟我們同或不同的時空切片,是同時存在的

基於這樣的想法,歷史朝代的存在也有可能是非線性的

時空切片交錯間的關係,也可解釋為輪迴

大約是這個想法,曾經在我節目邀請的來賓

就是那位前不久中風的教授校長聊過

但是,他認為我和他沒有理由談到這麼深,當時他神秘的望向虛空

說:他們那邊跟他溝通的事情..........,我就沒再跟他談了,超神秘的哩

您的時空切片可不是胡謅的喔。現代物理的 brane 就跟妳的想法不謀而合。還有妳的回應裡也有 multiverse 的意味,雖然無法證明,可也沒和任何定律相違背。 GolfNut — 無心的邂逅2009/12/02 16:47回覆
1樓. * 六月 *
2009/12/02 07:53
簡直是天書

 Wow這學問大了,對竹本六月而言,簡直是天書,有看迷有懂。

不過來推一下,總會遇到「懂」你的倫。

可惜沒有圖可用,否則會容易些。那裡不清楚?我可以改寫。 GolfNut — 無心的邂逅2009/12/02 10:24回覆