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柯西不等式在解題中的應用
2006/08/30 16:15
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柯西不等式在解題中的應用
摘要:本文利用怎樣運用柯西不等式解題的技巧,介紹了柯西不等式在解等式,不等式,極值,幾何問題等方面的應用.
關鍵詞:柯西不等式,技巧,應用
引言
人民教育出版社高中《代數》下冊"不等式"一章的習題中有這樣一道題(P,15練習第2題):
求證:ac+bd*這題用比較法是很容易證明的,這裡用比值的方法來證明.
證明:當a=b=c(或c=d=0)時,顯然成立;
假設+0 且+0,則
=
=
=1
故ac+bd
式就是著名的柯西不等式的一個簡單特例.
柯西不等式的一般形式為:
對任意的實數

(2)
或 (3)
其中等號當且僅當時成立(當時,認為
柯西不等式有許多證明方法,這裡就不作證明,僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹.
柯西不等式在解題中的應用
利用柯西不等式證明恆等式
利用柯西不等式來證明恆等式,主要是利用其取等號的充分必要條件來達到目的,或者是利用柯西不等式進行夾逼的方法獲證.
例,已知求證:.
證明:由柯西不等式,得
當且僅當時,上式取等號,
於是 .
利用柯西不等式解無理方程(或方程組)
用柯西不等式解無理方程,是先把方程的(含有無理式的)運用柯西不等式化為不等式,然後結合原方程把不等式又化成等式,在判定為等式後再利用柯西不等式取等號的特性,得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方程,進而得到簡單的整式方程,從而求得原方程的解.
例:解方程
.
解:
=
由柯西不等式知


當上式取等號時有成立,即
(無實根) 或,即
,經檢驗,原方程的根為
用柯西不等式解方程組,也同樣是利用柯西不等式取等號的條件,從而求得方程組的解.
例:解方程組
解:原方程組可化為
運用柯西不等式得
,
兩式相乘,得
當且僅當x=y=z=w=3時取等號.
故原方程組的解為x=y=z=w=3.
柯西不等式證明不等式.
很多重要的不等式都可以由柯西不等式導出,而利用柯西不等式的技巧有很多.如常數的巧拆,結構的巧變,巧設數組等,下面略舉一,二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式.
例:設a,b,c為正數且不相等到,求證:
分析:我們利用9與2這兩個常數進行巧拆,9=,
這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件.
證明:2
a,b,c各不相等,
等號不可能成立,從而原不等式成立.
有些問題本身不具備運用柯西不等式的條件,但是我們只要改變一下多項式的形態結構,認清其內在的結構特徵,就可以達到利用柯西不等式解題的目的.下面略舉一例加以說明.
例:設求證:
分析:這道題初看似乎無法使用柯西不等式,但改變其結構,我們不妨改為證:
證明:為了運用柯西不等式,我們將寫成
於是


我們進一步觀察柯西不等式,可以發現其特點是:不等式左邊是兩個因式這和,其中每一個因式都是項平方和,右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方,證題時,只要能將原題湊成此種形式,就可以引用柯西不等式來證明.
例:求證:
證明:
由柯西不等式得
其中等號當且僅當 , 時成立.
其中等號當且僅當 , 時成立.
用柯西不等式證明條件不等式
柯西不等式中有三個因式 , ,而一般題目中只有一個或兩個因式,為了運用柯西不等式,我們需要設法嵌入一個因式(嵌入的因式之和往往是定值),這也是利用柯西不等式的技巧之一.又柯西不等式中諸量 , 具有廣泛的選擇餘地,任意兩個元素 , (或 , ) 的交換,可以得到不同的不等式,因此在證題時根據需要重新安排各量的位置,這種形式上的變更往往會給解題帶來意想不到的方便.這種變換也是運用柯西不等式的一種技巧,下面我們簡單舉例說明怎樣利用上述技巧運用柯西不等式來證明條件不等式.
例:已知a,b,a+b=1,
求證:
分析:如果對不等式左端用柯西不等式,就得不到所要證明的結論.若把第二個小括號內的前後項對調一下,情況就不同了.
證明:
=

= .
例,設求證:
(1984年全國高中數學聯賽題)
證明:在不等式的左端嵌乘以因式,也即嵌以因式
,由柯西不等式,得

於是 .
利用柯西不等式求函數的極值
有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式,但只要適當添加上常數項或和為常數的各項,就可以應用柯西不等式來解,這也是運用柯西不等式解題的技巧;而有些極值問題的解決需要反覆利用柯西不等式才能達到目的,但在運用過程中,每運用一次前後等號成立的條件必須一致,不能自相矛盾,否則就會出現錯誤.這多次反覆運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不等式來求解一些極值問題.
例 設非負實數滿足求的最小值.(1982年西德數學奧林匹克度題)
解:易驗證
+1=
同理可得+1=+1=

故+
為了利用柯西不等式,注意到
+
=+
等號當且公當時成立,從而有最小值
例 設都是正數,且求證:
(1989年全國數學冬令營試題)
證明:令由柯西不等式,得

同理,得

又由柯西不等式,得

從而

6,利用柯西不等式解三角問題.
三角問題包括三角不等式,三角方程.三角極值等到,對於一些三角問題,我們為了給運用柯西不等式創造條件,經常引進一些待定的參數,其值的確定由題設或者由等號成立的充要條件共同確定,也有一些三角極值問題我們可以反覆運用柯西不等式進行解決.
例 在中 ,求證:

證明:
當且僅當A=B時等號成立.
令,於是引進參求
的最值.
由柯西不等式,
=
又由平均值不等式得
= (1)
當且僅當
例,已知a,b為正常數,且0 解:利用柯西不等式,得
等號成立的當且僅當時;
即 時,於是

再由柯西不等式,得



等號成立也是當且僅當時.
從而
於是的最小值是
7,利用柯西不等到式解幾何問題
在許多幾何問題中,如果我們能夠利用柯西不等式去解決,往往能收到事半功倍的效果,使人耳目一新.
例,已知橢圓的切線交x軸,y軸的正半軸於M,N兩點,且,求這條切線的斜率.
解:設有直線MN和橢圓相切於點,則切線方程為
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