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柯西不等式
2006/08/30 16:14
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課題:柯西不等式
課時:第1課時
教學目的:
(1)讓學生瞭解柯西的主要貢獻,貫穿數學史教育;
(2)通過柯西不等式的證明,滲透函數思想;
(3)加深學生對初,高等數學的有機聯繫;
(4)學生通過對二維柯西不等式的再認識,理解二維柯西不等式與中學數學有關內容的聯繫.
教學手段:計算機輔助教學
教學方法:問題教學法
教學過程:
一,由兩個簡單實例引出的猜想
1,兩個簡單實例
(1)設,有;
(2)設,有.
結構特徵:兩組數"乘積和的平方不大於平方和的乘積".
2,猜想
給定兩組實數:,,
是否有(*)成立呢
3,猜想的證明
分析:從(*)結構上分析,若兩邊同乘以4,有
,
類似於一元二次函數的判別式,故可構造一元二次函數來證明.
證明:
(1)若全為0,則結論顯然成立;
(2)若不全為0,則,為首項係數大於0的一元二次函數,並且,故的判別式
,即
顯然,當且僅當時等號成立.
二,柯西不等式
1,定理(柯西不等式)
給定兩組實數
;
有,(*)
等號當且僅當時成立.
2,柯西主要貢獻簡介
柯西(Cauchy),法國人,生於1789年,是十九世紀前半葉最傑出的分析家.他奠定了數學分析的理論基礎.很多定理都冠有柯西的名字,如以前學過的柯西收斂原理,柯西中值定理,柯西積分不等式,柯西判別法,柯西方程.
3,定理另證
分析2:注意到是維向量模的平方;
是維向量模的平方;
而恰好是向量內積的平方,因此可以借助於我們在空間解析幾何的向量內積的知識加以解決.
另證:構造維向量
維向量
則;;
由,即
顯然,當,即與共線,
亦即等號當且僅當時成立.
三,柯西不等式的積分形式
設與都在可積,
則,
等號當且僅當時成立.
結論:柯西積分不等式是柯西不等式的推廣.
四,二維柯西不等式的認識
中學數學主要是在二維平面和三維空間中討論問題,為了應用柯西不等式解決中學數學中的具體問題.我們有必要對柯西不等式的低維形式——二維柯西不等式進行再認識.
二維柯西不等式
等號當且僅當時成立.
請大家思考除了將二維柯西不等式看成一元二次函數的判別式和向量的模兩種認識以外,是否有其他的認識呢 下面請大家按以前的研究性學習小組進行研究.如果在研究過程中有問題,可以參考我給出的提示語.
提示語:可以根據變形後的結構特徵進行聯想!
五,小結
如果一個定理跟很多學科或者一個學科的很多分支有著密切聯繫,那麼這個定理肯定很重要.而柯西不等式與我們中學數學中的代數恆等式,複數,向量,幾何,三角,函數等各方面都有聯繫.它的重要性是不容置疑的!
六,作業
將小組對二維柯西不等式的再認識研究結果,遞交一篇數學作文.
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